Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
конечной толщины [39]. В этом случае вместо (7,14) надо
использовать функцию
г"
Rod, у) - j e~&c0(z, Y) dz. (7,52)
о
Эта величина выражается через значения функции cQ(z, у) при z =
О и z = z0 следующим образом:
^) = с°(0, v) с°(0, ^ ~ с°0' Y) с° (г°' ^ , (7 53)
где функции ф(х) = г0(0, Y) и у (х) = c0(z0, у) удовлетворяют
системе двух нелинейных уравнений:
lib (v)
<р(*) = 1 А-х\а (у) b (v) dv | ау,
о о
г °°
X (х) - е х +дг Г a(v)b(v)dv I .Ф (?) % О )_zi ciy.
J J ух
В ^-приближении эти уравнения совпадают с полученными
Чандрасекаром [46] при исследовании рассеяния света в
планетных атмосферах. Если безразмерная толщина кристалла г0-
>со, то у Ос) -> 0. В этом случае уравнение для ср(дт)
переходит в уравнение (7,18).
В нестационарном случае для определения т0 и т0 [см. (7,3) и
(7,4)] аналогично предыдущему достаточно рассмотреть величины
-О
R(Z, Y)= f e~**4>(zt У)dz (7,55)
о
i\
T(t, Y)= j e~^zty(z, Y) dz, (7,56)
о
?it функции ф(2\ v) и У) определены соотношениями (7,24) и
(.7,25). Можно показать [39], что
^ = -^-№(0. Y) с0 (0. С) + ф(0, С) С0(0, Y) -
- Ф (z0, Y) с0 (г0, 0 - Ф (z0, ?) cQ (z0, у)] -R0&, у),
(7,57)
§ 7] МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ
Т (?. Y) = -^№(0, Y) с0 (0, ?) + ф(0, о С0 (0, у) -
- c0(z0, Z) - C0(z0, ?Жг0- Y) +Ф(0, Y)Ф(0. D -
- Ф (г0, О ф (Z0, Y)] - R (?, Y) ¦- R0 (?. Y)-
(7,58)
Таким образом, величина R (t,, Y) определяется через значения
функций ф(0, y) = ^(x) и ф(20, y)~N(x), а величина Т (t,, у),
кроме того, - через значения функций tJj (0, у)=К(х) и гр (z0,
у)~ = Л(х). Функции М(х), N (х), а также функции К (х), L(x)
удовлетворяют попарно следующим системам линейных уравнений:
со lib (v)
.... , Г , . , . . , Г Г <р (г) М (х) -4~ <р (х) М (г)
М (х) = 1 -j- х J a (v) b (v) dv J ^ -, + х
о о
- xW,^(^) + ^(W)_| dZt (7>59а)
оо 1 ib(x\
NW = e-*>'* + x\a<y)b<y)to j lM<?) +
О О
+ V(x)N(Z)-N(x)4{z)yZ' (7i59(J)
оо 1 (b(\)
v t \ 1 ' Г / и / \ J Г \ М {х) М {z)-\-N (х) N (z) .
К (х) = 1 -t х J a (v) b (v) dv J ^ -jq-' ------ +
О о
¦ ф (х) К (Z) 4- ф (z) К (х) X (х) L (z) 4- х (z) L (х) 1 ^
(7 60а)
^ х-\-г z-х J '
1 Ь(\)
(х) N (z) - М (г) 1V (х)
L (х)--е * + xj a(v)b (v) dv J"
I Ф (x)L (г) - ф (z)L (x) %{х)К{г)-1{г)К{х)Ла:: (7506)
г - ;c z - x J '
При Z0 ->¦ со функции N (x) и L(x)->0. При этом М (x) -> x
(*). a К (x) -*¦ ф (x) ш (x) (см. предыдущий раздел этого
параграфа).
В ^-приближении результаты численного расчета функций ф(х),
%(х), М(х), N (х), К (х) и L(x) для значений </ = 0,5; 0,8 и
0,9 при различных z0 приведены в работе [39]. Времена
затухания, вычисленные на основании этих данных для области
частот, где b (у)<^_ 1, приведены там же. Если же величина q <
0,4, то эти функции можно найти из уравнений (7,59), (7,60)
методом последовательных приближений в виде разложений по
степеням q.
336
МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
(ГЛ. IX
Самсон в ряде своих работ [55] предложил весьма эффективный
метод нахождения приближенных аналитических выражений для
функций ф(х) и х (х). В основе этого метода, развитого для
уравнений в ^-приближении, лежит то обстоятельство, что
подинтегральные выражения в (7,54) являются медленно
изменяющимися функциями у. Поэтому приближенно эти выражения
можно вынести за знак интеграла в некоторой средней точке,
выбор которой в значительной степени произволен. В работе [55]
было показано, что если в качестве такой точки взять у = 1/2,
то отличие получаемых решений для ср и % от точных составляет
2-3%. Проделывая эту процедуру для уравнений (7,54), взятых в
^-приближении, получаем
Ф (*) = 1 + гйт [ч5 Ч> (т) -X М X (4)]. (7,61а)
X (*) = е~г°'х + 2х~~Г\ [ф (т) *(л:) ~ ф (х) X (4)] • (7,616)
Разрешая эту систему уравнений относительно функций ф(дг) и
%(х), находим
1 ??_ ф (L) _ у (±\ е-их
Ф(*) = 2* 1 4(i2|,)gl! (^2-1)- (7,62)
Поскольку функция ф(х) конечна при всех х, из (7,62) следует,
что при х - xQ = -^-(l-q)~'/2 должен обращаться в нуль не
только знаменатель, но и числитель. Отсюда следует, что
<7'63>
Второе уравнение, связывающее ф(^тг) 11 ^ М0)КН0 получить,
положив в правой части уравнения (7,61а) x-lj2. Используя это
уравнение, а также (7,63), получаем
ф /1\ = 4х (2^о + 1)-(2^0-1)
\ 2 / 0 (2х0 + 1)2 - (2х0 - iy;g-2z°lx°'
ГМ\ 8х0е~г°/х'> (7'64)
\ 2 / (2х0 + I)2 - (2х0 - I)2 e-2z°ix° '
Выражения (7,64) совместно с (7,61) полностью в
рассматриваемом приближении определяют функции ф(х) и х (*)•
Конобеев [56] применил этот подход также для нахождения
функций М. (х) и N (х) и, таким образом, вычислил приближенно
зависимость среднего "экспоненциального" времени затухания
люминесценции от величины q и толщины кристалла.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
337
На основе соотношений (7,35), (7,53) и (7,57) находим, что в
той области частот, где поглощением света люминесценции можно
пренебречь,
~ R (V. 0) M(x)-N(x) , М (оо)
° Ra (Y. 0) ф(*) - %(х) ф (ОО)
Используя это соотношение, Конобеев в [56] для величины Т0 при
