Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
функцию с (г, t), а лишь некоторые интегральные величины.
Действительно, пусть /ov)(0, t) - число фотонов люминесценции в
интервале частот dv, которые выходят из кристалла под углом 0
к внешней нормали через 1 см2 плоскости х - 0 в единицу
телесного угла за 1 сек. Тогда, очевидно,
d
/j)v>(0, t) = P-(V) |I-~J|'V l-s9)I j c(x, t)e-k^)xszcQ dx, (7,1)
0
где rv (cos 0)-коэффициент отражения света частоты v, падающего
с внутренней стороны па поверхность кристалла под углом 0.
Аналогичная величина, соответствующая поверхности х = d,
а
/<;v,(0, t) = (coi-)] | с (x, i)e-*(v)(d-*,sec6dJt. (7,2)
о
В соотношениях (7,1) и (7,2) не принято во внимание то
обстоятельство, что излучение, вышедшее из кристалла в момент
времени t, определяется значениями функции с(х, t) при более
ранних временах. Однако, если толщина плоскопараллельной
пластины даже
320
МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
[ГЛ. IX
порядка 1 см, а угол 0 не аномально велик, время запаздывания
не превышает величину порядка djc ~ 3 • 10~п сек, что
значительно меньше времени существенного изменения функции с
(х, t).
Перейдем теперь к временам затухания люминесценции.
Если возбуждение люминесценции прекращается в момент времени
t = 0, то измеряемое на опыте среднее время т0 или та затухания
люминесценции можно вычислить по формуле
tdt
W*. 0) = -^ • (7,3)
dt
J Wd О. 0
0 _
J Wa (0. 0
0
Введем, кроме того, время т0, rf(v> 0), определяемое
соотношением
со
J /рл(в, о "
^ 9)"° /Tver,)- (7'4)
Это время лишь приближенно характеризует спад люминесценции.
Оно совпадает с T0 d(v, 0) только в том случае, когда интенсив-
ность /о%(0, t) спадает со временем экспоненциально. Поэтому
разность | т - т | может служить мерой отклонения спада
величины /Jw(0> t) со временем от экспоненциального.
Таким образом, как это следует из соотношений (7,1) - (7,4),
для определения макроскопических характеристик люминесценции
достаточно знать интеграл от функции с (х, t) вида
а
J с (х, t) е~^х dx
о
как функцию г|. Именно это обстоятельство упрощает задачу,
если такие исходные величины, как Р, r| (v), k(v), E(v),
входящие в уравнение (6,30) в качестве параметров, можно
считать известными. Во многих случаях, однако, поступают
наоборот, т. е. определяют некоторые из перечисленных
параметров путем теоретической обработки экспериментальных
данных по люминесценции. Так или иначе, во всех случаях
оказывается необходимым знание соотношений, выражающих
макроскопические характеристики люминесценции через значения
упомянутых выше параметров и геометрические факторы.
§ 7] МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ 321
Для дальнейшего анализа в уравнении (6,30) удобно перейти к
безразмерным величинам:
z = k0x, z0 = k0d, т - Pt, c(z, т):- P°(x' О
ft(v)/0(v) '
Y = ~Y~ ' = a(v) = y?(v)r](v), л2 - -p~.
В этих соотношениях k0 = k (\0), где v0 - некоторая, вообще
говоря произвольная, частота. Если функция a (v) имеет
колоколообразный вид, то частоту v0 удобно выбирать в точке
максимума функции а (у). В этом случае k0 - коэффициент
поглощения максимально реаб- сорбируемого света. В
обозначениях (7,5) уравнение (6,30) принимает вид
дс (г, т) , 9 д2с (г, т) . , . .
a; zQ
+ | a (v) b (v) dv | с (zv г) Я, {b (v) | г - zx |) dzx, (7,6)
где
со
С е~гц
fi(2)==J -Vая (7,7)
1
Пренебрежение диффузионным слагаемым означает, что в (7,7)
величину X следует положить равной нулю.
Вычисление спектра люминесценции полубесконечного кристалла в
стационарных условиях
В работе Амбарцумяна [45] было рассмотрено стационарное
уравнение для функции с0(г) в полубесконечной среде:
СО
с0 (z) = е-V* -+- | С0 (Zj) Ег (I 2 - Zj |) dzx, (7,8)
о
где q-некоторое положительное число, меньшее единицы. Это
уравнение является частным случаем более общего уравнения
СО СО
cQ(z) = e-^+ J a(v)b(\)dv j c^zjE^b (v)| z - zx \)dzv (7,9)
которое следует из (7,6) и отвечает зависимости
2
21 В. М. Агранович
a (v) = ± 6 (v - v0). (7,10)
322 МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ [ГЛ. IX
Ниже для иллюстрации метода Амбарцумяна [45] мы используем бо-
лее общее уравнение (7,9).
Из уравнения (7,9) следует, что его решение зависит от вели-
чины Y- Поэтому (7,9) можно переписать также в следующем виде:
СО '.-О
С0 (z< Y) = + J a(y)b (V) d V j с0 (zv у) Ех {Ь (у) | z - zx |)
dzv
и о
(7,11)
Дифференцируя обе части этого уравнения по z, получаем
СО со
С /• .-Tift IV) z
c'0(z, у) = - уe-Y2_|_Co(0, у) J a(y)b(v)d\ J
dr] 4-
О I
оо OJ
!* /в
-1- j a(v)b(v)dv j c'0(zv y)E1(b(v)\z - zx\)dzv (7,12)
(J U
Уравнение (7,12) для функции c'0(z, Y) отличается от уравнения
(7,11), которому удовлетворяет функция c0(z, у), только
источниками. Поэтому, используя линейность этих уравнений,
находим, что так как уравнение (7,11) взятое без свободного
члена, не имеет иных решений, кроме тривиального, то
СО СО
c'o(z, y) = - yc0(z, Y) + c0(0, Y) J a(v)b (v) dv j -°(-^ dx\.
U I
(7,13)
Введем теперь новую функцию
