Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
В случае мелких ловушек, когда | Д - Л1 р - 4В, вероятность
захвата определяется значением предэкспоненциалыюго множителя,
сильно зависящего от структуры экситонной зоны. По порядку ве-
личины этот множитель можно оценить, используя борновское при-
ближение.
Сечение захвата получается, если величину (5,21) поделить на
поток v/Na3, где v - средняя групповая скорость экситона.
Вид формулы для сечения очевиден, и мы его здесь не
приводим. В заключение заметим, что если в кристаллах в
окрестности примеси возникает как глубокая, так и мелкая
ловушка, то захват экситона может идти в две стадии (эта
возможность обсуждалась Кукушкиным [28]): сначала более
вероятным может оказаться захват экситона мелкой ловушкой, а
затем возникшее локальное состояние безизлучательно или же с
испусканием фотона может перейти на уровень
20"
308
МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
[гл. 1х
глубокой ловушки. При низких температурах наличие мелкой
ловушки весьма повышает вероятность захвата экситона, а при
достаточно высоких концентрациях примеси сказывается также на
длине свободного пробега экситона.
§ 6. Феноменологические уравнения диффузии экситонов
Как уже подчеркивалось выше, в течение своей жизни свободный
экситон успевает совершить очень большое число столкновений с
фононами. Это обстоятельство делает возможным количественное
описание миграции свободных экситонов посредством
использования уравнения диффузии, к которому сводится в этих
условиях более общее уравнение Больцмана. Мы не будем здесь
излагать вывод уравнения диффузии из уравнения Больцмана,
поскольку этот вывод хорошо известен (см., например, [29]).
Сам" же уравнение Больцмана применимо лишь в том случае, если
длина свободного пробега экситона больше размеров волнового
пакета [30]. По порядку величины размер волнового пакета
экситона в условиях статистического равновесия с фононами
6 1 1_
Ькх к
где я определяется соотношением (3,7). В то же время длина
свободного пробега экситона, обусловленная, например,
рассеянием на акустических фононах, для сферически
симметричной экситонной зоны определяется соотношением (3,23).
Поэтому при С/0~|Л101|
, - .. 2-,/ т'а1 ( ТЛЧг
Ы - MVQ 1/ л у-*,2 = Т ' (6Д)
,
/
m*a2
къШ -
M2v\m
a2
k6h2
где
<6'2>
Если т* = т, М = Ъ ¦ 105т (здесь т - масса электрона в
пустоте), v0 = 2- 105 см/сек, а - 5- 10~8 см, то 7'0~Ю6оК, так
что неравенство
/хГ"1,
выражающее в данном случае условие применимости для свободных
экситонов уравнения Больцмана, выполняется при всех актуальных
температурах. Если же С/0~ Ю|М011, то Г0~ЮО°К.. Поэтому в
молекулярных кристаллах типа кристаллов нафталина, антрацена и
т. д., для которых масса молекулы Л1~105 электронных масс и где
энергия U0 велика, U0 ~ Ю|Л101 [, условие применимости уравнения
Больцмана остается выполненным лишь в области достаточно
низких температур Т <С 100° К-
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ
309
Выше обсуждался вопрос о применимости уравнения Больцмана
для описания кинетики свободных экситонов. Что же касается
локализованных экситонов, то для изучения их миграции можно
использовать некоторые результаты, полученные при исследовании
более общей проблемы случайных блужданий частицы по узлам
кристаллической решетки [31].
Как уже подчеркивалось в § 2, локализованный экситон в боль-
шинстве случаев в результате скачка перемещается на одну
постоянную решетки, причем, так как экситон на каждом узле
сидит достаточно долго, абсолютная величина и направление
каждого перемещения экситона независимы от всех предыдущих. В
этих условиях для времен, значительно превышающих время
пребывания экситона на одном узле, концентрация экситонов
удовлетворяет уравнению диффузии (см. [31]), причем
коэффициент диффузии определяется соотношением (2,13).
Принимая во внимание все сказанное, запишем уравнение диффу-
зии для экситонов, не учитывая пока возможность лучистого
переноса энергии.
Если с (г, t) - концентрация экситонов в точке г кристалла в
момент времени t (речь идет о полном числе экситонов в единице
объема, находящихся в условиях термодинамического равновесия
фононами), то уравнение, определяющее изменение функции с (г,
t) в пространстве и времени, имеет следующий вид:
/¦)/>
~ = ЗАс - Pc + I0(t)k{\)e-h^)xt (6i3)
где 'Sh - коэффициент диффузии экситонов (анизотропией среды
пренебрегаем), Р - полная вероятность исчезновения экситона за
единицу времени, k(v) - коэффициент экстинкции *). Последнее
слагаемое в правой части уравнения (6,3) определяет число
экситонов, которые создаются за единицу времени в единице
объема внешним излучением. При этом, ради простоты,
предполагаем, что кристалл имеет вид плоскопараллельной
пластины, ограниченной плоскостями х = 0 и x = d, и что свет
частоты v падает перпендикулярно плоскости х - 0 из области х
< 0.
Наличие в кристалле примеси, способной захватывать экситоны,
сказывается на величине Р, фигурирующей в (6,3), причем
