Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
соотношением
i = -+-L, (3,2а)
т т топ
где 1/так и 1/топ -число столкновений экситона с акустическими и
оптическими фононами за 1 сек. Подобно тому как это имеет
место для электронов в полупроводниках [12], т есть время,
равное примерно времени свободного пробега экситона
относительно столкновений с фононами, причем достаточно
нескольких столкновений для того, чтобы экситоны в зоне пришли
в состояние термодинамического равновесия с фононами. Таким
образом, если время жизни экситона значительно превышает время
т, экситоны перед гибелью, обусловленной либо превращением в
свет, либо, например, захватом примесной молекулой, можно
считать, как уже указывалось, находящимися в состоянии
термодинамического равновесия с решеткой.
Коэффициент диффузии экситона выражается через время релак-
сации т следующим образом:
@ - jTv2, (3,3)
где v2 - средний квадрат групповой скорости экситона.
Величины W, фигурирующие в (3,2), строго говоря, следует
вычислять, явно используя выражения для волновых пакетов.
Поскольку, однако, возникающие при этом функции, зависящие от
волнового вектора экситона, мало изменяются на интервале
порядка неопределенности волнового вектора экситона в волновом
пакете, соответствующие расчеты вероятностей переходов, как и
во всех аналогичных случаях кинетики (электроны, дырки, фононы
и т. д.), будем вести, используя для экситонов как до, так и
после рассеяния волновые функции в виде плоских волн. Ниже при
вычислении W будем пренебрегать эффектом смешивания состояний
экситонов и поперечных фононов, а в качестве оператора
экситон-фононного взаимодействия
284
МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ (ГЛ. IX
используем оператор Ие1, определяемый выражением (7,3) гл. II.
Такое приближение оправдано, если сила осциллятора, отвечающая
экситонному переходу, мала (например, если речь идет о
дипольно- запрещенных синглетных либо любых триплетных
экситонах) или если, как уже говорилось в § 1, большинству
экситонов в зоне отвечают значения волнового вектора,
значительно превышающие волновой вектор световой волны в
рассматриваемой области спектра. В этом случае
W7" (qs) = "щ-1 ^ (k -j- q; к; qs) р Nqs б [Е (к) - Е (к + q) +
(q)],
(3,4а)
W'S(qs)=-^-|/?(k+q; к; qs) |2(^ч,+ 1)б[?(к)-?(к+Ч)-Й(c)4(Ч)].
(3,46)
При достаточно низких температурах, когда энергия теплового
движения *) k^T много меньше ширины экситонной зоны, в
состоянии термодинамического равновесия большинство экситонов
будет сосредоточено в пространстве волновых векторов в
окрестности минимума экситонной зоны. Если точку минимума
обозначить через к0, а отклонение волнового вектора к от kg -
через х, т. е.
к = к0 + х,
то в приближении изотропной эффективной массы закон сохранения
энергии при поглощении и испускании фонона экситоном имеет вид
Й2*2 л_ * , ч й2 (я ± q)2
W±^(q) = - -2т* ' (3'5>
где т* - эффективная масса экситона. Для акустических фононов
со, (q) = v0q, где v0 - скорость звука (зависимостью величины
v0 от s и от направления q ниже, ради простоты, пренебрегаем).
В этом случае, используя (3,5), получаем
q = + 2и cos 8 ± -m-v°, (3,6)
где 0 - угол между векторами и и q;
сл-1,
где т - масса электрона в пустоте. В то же время среднее зна-
чение v. при данной температуре Т можно оценить,
воспользовавшись соотношением больцмановской статистики:
Л2х2 3 ,
~2т~ ~ ~2 6
*) Ниже Ав - постоянная Больцмана.
ДИФФУЗИЯ СВОБОДНЫХ экситонов
285
откуда
&)'1г=±УъШ^Г. (3,7)
Следовательно, вторым слагаемым в (3,6) можно пренебречь, если
только
т vi
k6T(3,8)
Так как г/0~2- 105 см/сек, неравенство (3,8) выполняется, если
Г>0,1°к(^). (3,9)
В дальнейшем неравенство (3,9) будем считать выполненным, в
связи с чем опустим соответствующий член *) под знаком 6-
функции в (3,4), а также второе слагаемое в (3,6). Из этого
соотношения следует тогда, что в рассматриваемом приближении
при заданном значении к волновой вектор фононов, с которыми в
первом приближении может взаимодействовать экситон, лежит в
пределах qmin = 0 и цтлх = 2к.
Поскольку, как это предполагается, величина ?бТ значительно
меньше ширины экситонной зоны, для подавляющего большинства
экситонов выполняется соотношение
м<1, (3,10)
где а - постоянная решетки. Используя это обстоятельство, а
также то, что для фононов, на которых рассеивается экситон, q
< 2к, представим величину Z7 (k -|- q; к; qs) в виде разложения
в ряд по степеням q и х и ограничимся учетом лишь первых
членов этого разложения. В этом приближении величина J Z7 (к -
(- q; к; qs) |2 (см. также [15]) оказывается линейной функцией
q для акустических фононов и константой для оптических
фононов. Если, кроме того, пренебречь несущественной здесь
зависимостью этой величины от направления векторов q и я, а
также не принимать во внимание зависимость частоты фонона от
направления q и поляризации, то приближенно
I F(tm) (к -(- q; к; qs) |2 = | F% faq, (3,11а)
|^or,(k + q; к; qs) f = | Ff |2, (3,116)
