Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ограничиваясь в соотношении (2,9) двумя первыми членами раз-
ложения, в (2,7) можно провести интегрирование. Возвращаясь
затем к выражению (2,5), находим, что вероятность переноса
возбуждения из узла п в узел п' за 1 сек определяется
соотношением
W(n, п/) = -jr | Vпп' p(-g-)V,rA*/4B. (2,12)
В соответствии с этим соотношением вероятность W (п, п') с
ростом |п-п'| убывает как 1 /| п - п' |6 или быстрее. Поэтому в
первом приближении можно не принимать во внимание перескоки
локализованного экситона на расстояния, большие одной
постоянной решетки, т. е. можно считать длину свободного
пробега экситона равной одной постоянной решетки.
Если концентрация экситонов в кристалле мало изменяется на
длинах порядка постоянной решетки кристалла (практически это
условие выполняется всегда), то кинетическое уравнение для
экситонов упрощается и может быть сведено к уравнению
диффузии. Соответствующий коэффициент диффузии в этом случае
выражается через время т и длину I свободного пробега так же,
как в теории газов:
(r) = (2,13)
Пренебрегая анизотропией и принимая во внимание то
обстоятельство, что т=1 jW, 1 = а, где а - постоянная решетки,
находим, что для локализованных экситонов [6]
(r) = 2{^Ye~AVW- (2.14)
Из соотношений (2,10), (2,11) и (2,14) следует, что
коэффициент диффузии локализованных экситонов с ростом
температуры растет от некоторого конечного значения при Т - 0
до величины, которая при температурах, больших дебаевской,
следует экспоненциальной зависимости от Т, т. е.
282
МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
[ГЛ. IX
§ 3. Длина свободного пробега и коэффициент диффузии свободных
экситонов в молекулярных кристаллах
Если в кристалле реализуется случай слабой экситон-фононной
связи, экситон-фононное взаимодействие можно учесть методами
теории возмущений (см. гл. IV). Во-первых, это взаимодействие
приводит к незначительному изменению формы и положения
экситонной зоны. Этот эффект здесь несуществен и приниматься
во внимание не будет. Кроме того, экситон-фононное
взаимодействие делает состояния экситона нестационарными,
поскольку в результате рассеяния экситона на фононах
изменяются волновой вектор и энергия экситона.
Если 6?(к)-ширина уровня энергии экситона с волновым векто-
ром к, обусловленная экситон-фонониым взаимодействием, то
соответствующая неопределенность волнового вектора 6к связана
с 6Е (к) соотношением
ЬЕ (к) = fiv (к) 6к, (3,1)
. 1 dE
где = групповая скорость экситона.
Наличие неопределенности волнового вектора у экситона свиде-
тельствует о том, что из-за экситон-фононного взаимодействия
состояние экситона в кристалле фактически реализуется не в
виде плоской волны, а в виде волнового пакета, размеры
которого можно оценить из соотношений неопределенности bxbkx-1
*). Перемещение волнового пакета экситона означает перенос
энергии, так что для вычисления соответствующего коэффициента
диффузии **) необходимо оценить время и длину свободного
пробега для волнового пакета. Таким образом, для свободных
экситонов ситуация оказывается вполне аналогичной той, которая
имеет место при рассмотрении фононной теплопроводности
[11]***).
В отличие от случая локализованных экситонов, когда коэффи-
циент диффузии определяется частотой перескока возбуждения из
одного узла в другой, в случае свободных экситонов, как и в
теории подвижности электронов или дырок в кристаллах (см.,
например, [12]),
*) Отметим, что в случае локализованных экситонов (см.
предыдущий параграф) размер пакета Ьх - порядка постоянной
решетки, а неопределенность волнового вектора - порядка
размеров зоны Бриллюэна. В этом случае "хорошим" квантовым
числом является не волновой вектор, а координата возбужденной
молекулы.
**) Длина свободного пробега экситонов Ванье-Мотта была
вычислена в работах Ансельма и Фирсова [13].
***) В связи со сказанным отметим работу Меррифилда [86], в
которой была исследована нестационарная картина
распространения волнового пакета в кристалле. Экситон-фононное
взаимодействие во внимание не принималось. Поэтому полученные
в этой работе результаты фактически можно использовать лишь
при малых временах, меньших времени свободного пробега экси-
тона, обусловленного экситон-фононным взаимодействием.
ДИФФУЗИЯ СВОБОДНЫХ ЭКСИТОНОВ
283
для определения коэффициента диффузии необходимо знать время
релаксации т, определяемое, согласно Фрелиху [14],
соотношением
l = ,f wUqs)}, (3,2)
qs
где k- волновой вектор экситона до столкновения, Ak(q) -
изменение волнового вектора экситона при столкновении с
фононом qs, ^(qs) - вероятность поглощения фонона qs\ a
U^(qs)- вероятность испускания фонона qs (отнесенные к единице
времени). Новые значения волнового вектора экситона, с
точностью до целочисленного вектора обратной решетки, равны к'
= к + q для случая поглощения и испускания фонона
соответственно. Индекс s определяет номер ветви фонона.
В соответствии с (3,2) время релаксации т можно представить
