Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ность рассматривать такие возбужденные состояния кристалла, в
которых вероятность того, что одна из молекул кристалла
находится в возбужденном состоянии, отличается от
соответствующей вероятности для другой молекулы. Из-за
трансляционной симметрии кристалла эти состояния, очевидно, не
являются стационарными, а переход из одного из таких состояний
в другое как раз и отвечает переносу энергии по кристаллу.
Если в кристалле осуществляется случай сильной экситон-
фононной связи, в качестве упомянутых выше состояний могут
быть использованы состояния кристалла, в которых возбуждение
локализовано на одной из молекул, а кристаллическая решетка в
окрестности этой молекулы соответствующим образом
деформирована (локализованные экситоны; см. § 7 гл. II).
Используя обозначения § 7 гл. И, а также то обстоятельство,
что состояния Ч''пл'(г- Ю были найдены без учета резонансного
взаимодействия между молекулами, приходим к выводу, что
вероятность переноса возбуждения из узла п в узел п' за еди-
ницу времени определяется соотношением [6]
ДИФФУЗИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ экситонов
279
где HnN, a'N' - матричный элемент полного оператора энергии
кристалла, построенный на функциях 'Fn/v и 4V/V'; черта над
суммой в (2,1) означает усреднение по начальному распределению
фононов в состоянии 'Fn/v- Поскольку в случае локализованных
экситонов время жизни возбуждения на одном узле намного больше
периода колебаний атомов кристаллической решетки, усреднение в
(2,1) можно провести, заменив в результате, который получается
после суммирования по . . . NK . . ., величины А/и на их
средние значения при данной температуре Т:
В силу трансляционной симметрии значения энергии Е"у и ?V,v
отличаются только энергией колебаний решетки [(см. (7,76) гл.
11)], так что
Что же касается матричного элемента пдг, то его величина,
если ограничиться в электронными волновыми функциями нуле
вого приближения (так называемое кондоновское приближение),
определяется соотношением *)
где Фл^(<7и)-волновые функции, отвечающие гармоническому осцил-
лятору нормальной координаты а- величины а и q- равновесные
Х КП хп'
положения этой координаты в состояниях 'F",v и Wn-A"; Vnnr -
матричный элемент резонансного взаимодействия между молекулами
п и п'. Подставляя (2,4) и (2,3) в (2,1), находим
Вычисление сумм вида (2,5) было впервые проведено Лэмбом
[7]. Метод Лэмба был затем использован также в теории
оптических свойств молекул, находящихся в твердом растворе
(Давыдов [8]).
*) В соотношении (2,4), ради простоты, опущены слагаемые,
обусловленные оператором неадиабатичности. При точном описании
величина Vntl' заменяется более сложным выражением [6].
Уточнение, однако, слабо влияет на температурную зависимость
коэффициента диффузии.
(2,2)
Еад. - ЕП'М' - йсок {NК - А/х)'
(2,3)
к
Н
nN, n'N'
W (п. п') = I vm. I2 2 6 /кои (л/и - А/*)1 X
' (2,5)
к ' v
280 МИГРАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ [ГЛ. IX
Полный обзор работ, где суммы вида (2,5) вычислялись
посредством иных методов, см. в статье Перлина [9].
Если бы имело место равенство а =а , то в сумме по набо-
хп Кп'
рам . . . N'x ... из-за ортогональности собственных функций (q
было бы отлично от нуля только одно слагаемое, отвечающее N'-N
для всех к. Поскольку, по предположению, q фа ,
X X хп Хп'
вклад в сумму (2,5) вносят также слагаемые с Л/и Ф Nx. Если не
учитывать локальных колебаний, то можно воспользоваться тем
обстоятельством, что \q -q I-1 jC!\ где L - размер кристалла.
I ^П' I
Имея в виду предельный переход L -> со в окончательном
результате, достаточно сохранить в (2,5) наряду с членами, где
/Vx = /VXl также лишь члены, где /VK = /VX± 1. Последнее связано
с тем, что
J флг(?-?1)флг-(?(2,6)
тогда как матричные элементы, где W и IV' отличаются более чем
на единицу, являются величинами более высокого порядка
малости. Используя для 6-функции интегральное представление
+ 00
б(*) = -^- | е1рХс1Р
- СО
и меняя порядок суммирования по {. .. /V* .. .} и
интегрирования по р,
можно показать, что сумма в (2,5) может быть представлена в
виде
+оо
S = TST / eSWd!>• <2-7'
- ОО
где
*<"=7 2("".-*""•/(2N.+1)].
(2,8)
Если в разложении функции g(p) в ряд по р
<?(Р) = - ФА - Р25+ ••• (2,9)
величина В подчиняется соотношению *)
в=4 ^ (?," - ","¦)* ("*+т)"4!< (2'10)
к
*) Неравенство (2,10) всегда выполняется, если только имеет
место сильная экситон-фононная связь или же температура
кристалла не очень низка. Только при выполнении этих условий
можно не принимать во внимание трансляционное вырождение
состояний (см. (2,3) при Nx = N
Анализ этого вопроса, а также более корректный расчет величины
W (п, гг') см. в работе Холстейна [10] (в [10J речь идет о
подвижности полярона; см. также ссылки [16, 17] к гл. 11).
ДИФФУЗИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЭКСИТОНОЙ
281
где ш0 - дебаевская частота, то в интеграле (2,7) главную роль
играет область малых р ^область (r) разложении (2,9)
а =4 Им*-(2Л1)
X
