Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
волновым вектором (к = кц). Это обстоятельство приводит к
тому, что гамильтониан взаимодействия поверхностных экситонов
с поперечными фотонами имеет вид
(5,3) гл. III, а закон дисперсии этих экситонов при учете
запаздывания*) по-прежнему определяется уравнением (5,11) гл.
III. Единственное формальное различие связано с видом
матричного элемента Т U< Ч' р)> который в случае поверхностных
экситонов можно записать следующим образом:
I 2nN2Nl\k Е (к,,)
Ti-j' * ^1АЫг) 7^зт(Р(к"' Р>'я/)> (5Л)
где величина А определена соотношением (4,24). В (5,1) кц-
компонента волнового вектора фотона q, лежащая в плоскости ху
(поверхность кристалла), р-номер ветви кулоновского
поверхностного экситона. Смысл величин А и к ясен из
сказанного в предыдущем параграфе. Что же касается вектора
Р(кц, р), то в рассматриваемом случае он равен матричному
элементу оператора дипольного момента поверхностной ячейки
кристалла, построенному на волновых функциях основного и
экситонного (кц, р) состояний кристалла.
Если у.а <^ 1, то
2nN[N\ А ^(к")
\T(J.
и уравнение дисперсии (5,11) гл. III принимает вид ?2П. ^2
. 8n^2?p3(k)v |Р(к. p)lq/[2
р( ) ^ fj (*2+<72з)[-*2+й2<2(*ч^)] ' ( , )
*) Ниже, как и в § 5 гл. 111, в операторе взаимодействия
экситонов с поперечными фотонами не будем, ради простоты,
принимать во внимание слагаемые, квадратичные относительно
векторного потенциала поля фотонов. Поэтому полученные ниже
результаты для закона дисперсии справедливы в окрестности
экситонных уровней Ер и непригодны в области малых энергий t <С
Ер (к).
270
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭКСИТОНОВ
[ГЛ. VIII
В (5,2) е?(к)-искомая энергия экситона при учете запаздывания,
к - волновой вектор поверхностного экситона: к = ^е, 4- к,е2.
Применим уравнение (5,2) сначала к случаю поверхностных
кулоновских экситонов, частота которых в кубических кристаллах
определяется из уравнения е (со) = - 1. В этом случае, в
соответствии с (4,1), (4,16) и (4,19),
Так как q = А1е1 k2e2 -f q3e3, то, в соответствии с (5,3)*),
Используя это соотношение, а также соотношение (4,24),
переходя в (5,2) от суммы по д3 к интегралу, получаем вместо
(5,2) следующее уравнение:
Смысл величины q0 пояснен в § 5 гл. III. Здесь же существенно
лишь то обстоятельство, что величина q0~jija в рассматриваемой
области спектра может считаться много большей величин k, со/с
Рассмотрим сначала такие состояния экситонов, энергия
которых е? (k) < hkc. В этом случае Ь > 0, так что уравнение
(5,4) можно после интегрирования записать в виде
Здесь использовано то обстоятельство, что с большой точностью
Р(к, р) = 1^1к,
(5,3)
где
К = ei&i + е2&2 -+ гиез, и = V + kl ¦
I P(k, Р) lqy|2 = P(k, р) Р* (к, р)
(Р (к, р) д) (Р:' (к, р) д) = | р0/ р
где
(5,4)
(5,5)
и У\ь\.
*) Напомним, что в случае комплексных векторов а и b их
скалярное произведение равно а*Ь.
§ 5! МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ 271
(напомним, кроме того, что и = V k2 -f- k\ =k). Если k2
%>2/h2c'2> то, разлагая правую часть уравнения (5,6) в ряд по
степеням ef2,/)2?2c2 и ограничиваясь первым неисчезающим
слагаемым, находим, что решение уравнения (5,6) в области k
со/с определяется следующим образом:
' _ 2я| p°/pz?0 (к)
§=2(к ) = ??(к)
a3h2c2k2
(5,7)
Этот же результат следует из уравнения (3,9)
феноменологической теории, если в (3,9) использовать явное
выражение для диэлектрической проницаемости е(со).
В силу вещественности сf (к) радиационная ширина
рассмотренной ветви поверхностных экситонов (с с? < hkc) равна
нулю.
Рассмотрим теперь вопрос о таких решениях уравнения (5,4),
для которых неравенство cf < hkc не выполняется. Уже на
основе изложенного в § 5 гл. 111 ясно, что если такие решения
уравнения существуют, то они
должны обладать радиационной шириной. Полагая
е? = ef' i(f" и используя соотношение
-J- = in 6 (q\ + Ь), (5,8)
q\ + b q\ + b ^ '
находим, что в первом приближении энергия определяется из
урав
нения
г,2(. (с/>у _ 8?p3(k)x|pa/P 1° dq3
р(к) a4W J ,2, 2\( 2 , к2 (Г)2 Г
О (?3 + К ) (^з + k j
тогда как
ew_^(k)*|p"/P ? ^ i Л2 (*'п
Полагая, что b' = k2- {$f)2jh2c2, и проводя в (5,9)
интегрирование
в смысле главного значения, получаем
2 /W\2 А 4я|р0/|2 Ег0(к)
^(k)-(r)2 = -w, где Л = ¦
откуда
Г(к)~?р(к) + 2я|аРр1. (5,11)
Используя теперь (5,10), находим
272
теория ПОВЕРХНОСТНЫХ экситонов
[ГЛ VIII
Соотношения (5,11) и (5,12) отвечают элементарным
возбуждениям лишь при выполнении условия Это неравенство
определяет
границу спектра (крестик на рис.. 20).
В той области спектра, где k~Y (cf')2jh2c2- k2, время жизни
поверхностного экситона т - 2лй/еГ" определяется соотношением
ha3
Полагая а ~5 ¦ 10'
где е
о/ I
] р о/ р '
•м = Ък, находим, что при
-и
: 2 ¦ 10
'р0/|
сек:
(5,13) = 0,5е А,
если же
23
: 5 • 10 сек, и т. д.
- заряд электрона
р ' | = 0,1е А, то т
Полученные результаты вполне соответствуют
феноменологической теории, в соответствии с которой в
