Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Согласно данным о доле каждого подтипа спиральных галактик среди всех наблюдаемых галактик вероятности того, что данная далекая галактика принадлежит к указанным подтипам, соответственно равны
P(Sa) = 0,23, P (Sb) = 0,31, P (Sc) = 0,46. (1.94) Поэтому по формуле (1.93) P = 0,23 0,0020 + 0,31-0,0035 + 0,46-0,0055 0,0041.
§ 11. Теорема Байеса
В общем случае вероятности P (Н \ Ai), которые события Ai «сообщают» событию Я, различны. Допустим, что стало известно о происшедшем событии Я, но неизвестно, какое при этом произошло событие И8 полной системы (1.90). Можно утверждать, что вероятности P (Ai I Я) отличны от P (Ai). Должны возрасти вероятности тех из событий (1.90), которые «сообщали» большие вероятности событию Я, и — уменьшиться вероятности событий, «сообщавших» событию Я малые вероятности.
Напишем согласно теореме умножения вероятностей:
P (AiH) = P (A1)P (Я \At) = P (H)P (A1 I Я). (1.95)
Решим (1.95) относительно P (Ai \ Н) и используем равенство (1.92):
2 P(Ai)P(HlAi) ВЕРОЯТНОСТЬ сложного СОБЫТИЯ
47
Полученная формула носит название теоремы Байеса. Она позволяет найти новые вероятности событий А {, если известно, что событие Я произошло. В частном случае, если
формула (1.96) упрощается:
P ill I А )
P(AlIIf)= , ' . (1.97)
i=l
Так как знаменатель правой части от і не зависит, то (1.97) показывает, что если до того, как стало известно о происшедшем событии Я, вероятности событий А і были равны, то после того как стало известно, что событие Я произошло, вероятности событий At становятся пропорциональными тем вероятностям, которые они «сообщали» событию Я.
Задача 23. В условиях задачи 22 определилось, что в течение года наблюдений далекой спиральной галактики в ней обнаружена вспышка одной сверхновой звезды. Найти теперь вероятность того, что галактика принадлежит подтипу Sa, Sb, Sc.
Решение. Согласно теореме Байеса
D/С/т I и\ 0,23-0,0020 _плл P(Sa I И) = Q 0041
P(Sb\H)= °'оД75 ^0'27' P (Sc I И) =0А*;Ц55 к 0,62.
Как и следовало ожидать, по сравнению с (1.94) вероятность Sa уменьшилась, а вероятность Sc возросла.
§ 12. Вероятность сложного события
Рассмотрим полную систему событий (1.90). Обозначим вероятности этих событий соответственно
Pu Рг> • • •» Ph-Каждый раз, как выполняется необходимый комплекс 48
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
условий (производится испытание), происходит одно из событий (1.90). Определим вероятность рп (ти т2,... ,mk) того, что при л испытаниях событие A1 произойдет Tn1 раз, событие Ai — тг раз, . . ., событие Ak — mk раз. При этом безразлично, в какой последовательности происходят события. Так как в каждом испытании осуществляется одно из событий (1.90), то
к
2 Щ = п. (1.98)
i=l
Определим сначала вероятность того, что осуществится одна определенная последовательность событий Ai при л испытаниях, в результате чего каждое из событий Ai произойдет требуемое количество раз. Согласно теореме умножения вероятность такой последовательности равна
РТ1РГ---Phk (!•")
Этой же величине равна вероятность любой последовательности событий, содержащей требуемое число событий Ai. Поэтому искомая вероятность согласно теореме сложения равна величине (1.99), умноженной на число различных последовательностей событий, содержащих события Ai требуемое число pas. Число удовлетворяющих условию различных последовательностей можно получить, выбрав одну из таких последовательностей и определив в ней число всех перестановок, дающих новые последовательности. Число всех перестановок из л элементов равно л!. Но так как, поменяв местами два одинаковых события, мы не получим новой последовательности событий, число всех различных перестановок равно
я!
mi! TojI ... TOfc!
Таким образом,
Pn О«I. О - тої. Л ..m,, W • • • P?"- (11°°)
Эта формула называется формулой вероятности сложного события. і iaj ВЕРОЯТНОСТЬ сложного СОБЫТИЯ
49
Бели требуется определить вероятность того, что событие А, вероятность осуществления которого в одном испытании равна р, при л испытаниях произойдет m pas, необходимо рассмотреть полную систему событий А, Л. Тогда согласно (1.100)
PnH= wl(n%, W-. (1-101)
где
q = l-p (1.102)
есть вероятность осуществления события Л в одном испытании.
Задача 24. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в яблочко мишени, равна 0,2, а в остальную часть мишени — 0,5. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах четыре пули окажутся в яблочке и 4 — в остальной части мишени.
Решение. Рассмотрим также событие {промах}, вместе с которым события {попадание в яблочко} и {попадание в остальную часть мишени} составляют полную систему событий. Вероятность промаха равна 0,3. Согласно (1.100)
рю(4,4,2) = • 0,24• 0,54• 0,32^0,028.
Задача 25. Прибор имеет шесть ламп, вероятность выхода из строя каждой ив которых при данном повышении напряжения в цепи равна 0,3. При перегорании трех или меньшего числа ламп прибор ив строя не выходит. При перегорании четырех ламп вероятность выхода прибора из строя равна 0,3, при перегорании пяти ламп 0,7, при перегорании шести ламп — 1. Определить вероятность выхода прибора ив строя при повышении напряжения.
