Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ji _.. In 2
§ 9. Аксиоматическое построение теории вероятностей
Введенные выше классическое и статистическое определения понятия вероятности не являются достаточными для построения общей теории. Классическое определение не может быть использовано в общем случае, когда нельзя определить полную систему конечного числа равновозможных случаев, часть которых благоприятна для события А, а остальная часть для него неблагоприятна,
С другой стороны, относительная частота появления события А может служить лишь приближенным значением, некоторой оценкой вероятности события А. Только в тех случаях, когда частота появлений события А настолько велика, что ошибки измерения относительной частоты в физических опытах и в астрономических наблюдениях заведомо превосходят ее случайные отклонения от вероятности события А, можно на данном этапе развития науки рассматривать наблюденную относительную частоту как вероятность события А. і 9] АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
43
Чтобы построить теорию вероятностей, непротиворечивую и свободную от ограничений, в основу ее следует положить систему аксиом. Эти аксиомы, так же как, например, аксиомы евклидовой геометрии, формулируются как результат жизненного опыта, практической деятельности человека. Ввиду того, что относительная частота в обширных сериях испытаний приближенно равна вероятности события, аксиомы теории вероятностей должны формулироваться так, чтобы правила действий с вероятностями и относительными частотами совпадали. Принятая в теории вероятностей система аксиом сформулирована А. Н. Колмогоровым.
Аксиома I. С каждым событием А данного поля событий связывается число P (А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию
О < P И) < 1. (1.80)
Отметим, что относительная частота также удовлетворяет условию (1.80).
Аксиома II. Вероятность достоверного события равна 1,
P(U) = 1. (1.81)
Аксиома III. Если событие А подразделяется
на несовместимые события C1, Ci.....Cm того же
поля, т. е.
А = C1 +C1 +. . . +Cm, (1.82)
то
P(A) = P (C1) + P (C2) + ... +P (Cm). (1.83)
Эта аксиома сложения вероятностей несовместимых событий соответствует очевидному правилу сложения относительных частот. В самом деле, если в данной серии из п испытаний относительные частоты событий C1, C2, ...
...,Cm равны соответственно —, —,..., —, то относитель-
Л п Tl
ная частота события будет равна
_L = il4_i!+... + .!k. (1.84)
в п 1 п 1 п
А к о и о и а IV. Если событие А может быть представлено как сумма бесконечной последовательности 44
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
C1, C2, . . ., Cm, . . . несовместимых событий, то P(A) = P (C1) 4-P (C2) + . . . +P (Cm) + . . ., (1.85)
причем бесконечный ряд в правой части (1.85) предполагается сходящимся.
Эта аксиома, называемая расширенной аксиомой сложения, необходима, так как часто приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.
Из сформулированных аксиом вытекает ряд уже знакомых нам элементарных следствий.
1) Ив очевидного равенства
U + V = и и аксиомы II следует, что
P (U) + P (V) = P (U) и, следовательно, вероятность невозможного события
P (У) = 0. (1.86)
2) Так как А + Л = U, то
P(A) +P (Л) = \, (1.87)
сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
3) Из очевидных равенств
A +B = A +ЛВ, В = AB + ЛВ,
в которых слагаемые правых частей несовместимы, согласно аксиоме II получаем
P (А +В) = P(A) +P (ЛВ), (1.88)
P(B) = P (AB) + P (ЛВ). (1.89) Вычитая (1.88) из (1.89), получаем
P (А +В) = P (A) +P(B)-P (AB).
Таким образом, теорема сложения вероятностей есть следствие аксиомы II. і 10]
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
45
Вероятностью P (В I А) события В при условии, что событие А произошло, называется отношение P (AB) / /Р (А). Поэтому теорема умножения вероятностей:
P (AB) = P (A)P (В I А) есть просто следствие этого определения.
§ 10. Формула полной вероятности
Рассмотрим полную систему событий
Ли A2.....Ah. (1.90)
Если известны вероятности
P (A1), P (A2), ...,P(Ak)
этих событий, то полная система событий считается заданной.
Рассмотрим также некоторое событие Н. Если при выполнении данного комплекса условий событие H не невозможное событие, то оно совместимо хотя бы с одним из событий (1.90).
Рассмотрим теперь систему событий
A1H, A2H.....AkH. (1.91)
События (1.91) несовместимы между собой, но они не составляют полной системы событий. Чтобы событие H произошло, необходимо и достаточно, чтобы произошло одно и8 событий (1.91). Поэтому, по теореме сложения вероятностей,
к к P(H) = P (2 A?) = 2 P(AiH). (1.92)
4=1 ' i=l
Но по теореме умножения
P (AiH) = P(A1)P (Н I А,). Окончательно находим
к
P(H) = ^jP(Al)P(HlAi). (1.93)
1-і 46
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Соотношение (1.93) носит название формулы полной вероятности.
З а д а ч а 22. Среди наблюдаемых спиральных галактик 23% принадлежат подтипу Sa, 31% — подтипу Sb и 46% — подтипу Sc. Вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в галактике Sa составляет 0,0020, в галактике Sb — 0,0035 и в галактике Sc — 0,0055. Найти вероятность вспышки в течение года сверхновой ввездьі в далекой спиральной галактике, подтип которой определить не удается.
