Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
150
Тогда для лоренцевского, допплеровского и КОМбнШфО-ванного (фойгтовского) контуров спектральных линий соответственно имеем:
.ч р I т0 у/2 . ч 1 . 1 “
Vl (Vi)0 ( f ) . aiW I + *• ’ L я ’
(6.39)
v0 I IkT N2 . _*• л 1 /_ .
Vv Si ъ, а, (*) = , И, - с/ (а, 0). (6.41)
U (а, 0)
Здесь P и T — давление и температура исследуемой среды; т — масса молекулы; k — постоянная Больцмана, а функция Фойгта U (а, х) определяется выражением (2.20).
В принятых обозначениях с учетом соотношения (2.8) уравнение переноса излучения для плоского слоя можно записать в виде [11]
х (т> HO _ —а(х) I (т, (х) + dx w . w -т- (б 42)
OO 1
+ — Aa (х) J а (х') dx' j* Ix> (г, ц') ф' + а (х) е0 (т),
— OO —1
/ Ч / Ч Л(т)
где величина а (х) е0 (т) = характеризует распределе-
но)
ние источников излучения внутри среды.
За граничные условия для уравнения (6.42) можно принять условия (1.47). В дальнейшем будем рассматривать полубесконечную среду. Для слоя конечной оптической "ТОЛЩИНЫ приведем лишь основные результаты.
Обычно вместо уравнения (6.42) рассматривают интегральное уравнение для функции источников е(т):
OO 1
е (т) = ~ A j* CC {х') dx' j* Ix- (т, ц,') ф' + е0 (т). (6.43) —00 —1
151
Интегральное уравнение для е(т) нетрудно получить, формально решая уравнение (6.42):
dlx (т, Ц) dx
= —а (х) Ix (т, ц) + a (X) е (т)
и подставляя его решение _ % а(х)е 11 Ie (т') е
H I о t~'\ о »* ------ для [X >- О,
V-
* (6.44)
_«WT «м,. dx,
— a(x)e 11 Ie (t') e 11 для [x < 0
в соотношение (6.43). Это интегральное уравнение можно записать в виде [11]
к Г
е (T) = — к (1 т — t' I) е (т') dx' + B0 (T), (6.45)
где
К (т) = A j а2 (х) E1 [ot (х) т] dx.
(6.46)
Уравнение (6.45) можно преобразовать, если принять во внимание, что в соотношение (6.44) величины ot (х) и jj, входят в одной и той же комбинации. Обозначая -J-— = ?,
а (х)
функцию источников е(т) можно переписать в виде
где
G(t)
Q1 = A J а2 (*') dx' при I s I < 1,
2А Г аг{х')йх' при |?|>1. *(С)
(6.48)
Заметим, что в случае замены —^— м ?
Ot(JC) •
1X (т> Ja) = 1 (т> V-, х) = I (т, ?).
В (6.48) функция х(1) определяется из условия
Так как
I
/(T1 C') G (С') dt'
' a(xVx' JТ’ |ф'’ —1
то при I = 1
j ад dt
і.
Другим свойством функции G (?) является, как нетрудно убедиться,
G(S) = G(—?).
Для лоренцевского и допплеровского контуров спектральных линий функция G (?) соответственно равна:
о,(0«
і / і
— arcsm —^
я V Vl
Vi~\
(6.49)
Ш>1,
153
Gd(I)
aP =
V 2
'SI < I.
Y2 InC
(6.50)
Trl1-TT J 'и>'-
Для упрощения дальнейшего рассмотрения исследуемого вопроса будем полагать, что в среде бесконечной оптической толщины источники излучения равномерно распределены, т. е.
B0(T) = е0 = const. (6.51)
Дифференцируя по т интегральное уравнение для е (т, X), находим:
OO
е' (т, X) = — Г К (| т — т' І) е' (т, X) dr' + — е (0, А) К(т).
2 oJ 2 (6.52)
Из сравнения этого уравнения с уравнением для функции (5.44) получаем:
е' (т, X) = є(0, X) Ф (т, X).
Так как при т оо є(т, X)
1-Х
(6.53) , т. е. б(т, А.)
стремится к функции источников для бесконечной среды, • то по (6.53)
1 — X
е (0, X)
X) dr'
•<*»»|1 +TT=T-1)
или
е(0, X)
(6.54)
У 1-Х
T
(т, X) = [1 + IФ(т,> Х) dT>]' (6,55)
Следовательно, е
154
Рассчитав е(т, А) по (6.55), можно получить интевснв* ность излучения, выходящего из слоя:
г а(х) * и
I (0, ji, Af1 А) = І є (т, к) е д а (х) .
о
Подставляя сюда (6.55) и интегрируя по частям, нахо. дим:
I (0, |а, х, к) = —!о— H і —, (6.56)
1-А \ а(х) /
где функция H (I, А.), являющаяся обобщением функции Амбарцумяна, удовлетворяет уравнению [11]
OO
я (С, A) = I + A- у* (?, А) Г (6.57)
^ J C 1 ъ ¦
—OO
При условии локального термодинамического равновесия функция источников имеет вид (CM. § 5, гл. 6)
е0(т) = (1 -к) В (T). (6.58)
Здесь В (T) — интенсивность планковской радиации при температуре Т.
Заметим, что при решении уравнения переноса излучения в спектральной линии частотной зависимостью функции В (T) можно пренебречь. Тогда по (6.56)
1(0, ji, х, к) = У~Г=ГГ B(T) H , а) . (6.59)
\о(х) )
На рис. 14 приведена частотная зависимость степени черноты полубесконечного слоя
Е _ 1(0, ji, х, к)
B(T)
для допплеровского контура спектральной линии при различных значениях вероятности выживания кванта и угла наблюдения. Из рисунка видно, что среда излучает планковскую радиацию, на фоне которой отчетливо виден профиль спектральной линии, причем картина стано-
153
-ч -з -2 -і о і 2 3 * -j -г -і о / г J
Рис. 14. Степень черноты полубесконечного слоя при различных значеннях вероятности выживания кванта (а) и угла наблюдения (б);
Для (a): /Hl-X-IO-Ij S—10*«; S-IO'*: 4-10-*; J—IO ?-10'*; для (б): /-X-
-IO'1, 1— H-I J—ц—0,5. 3—0,3. 4—0,1; (—расчет по формуле (6.85а)
вится более четкой с увеличением вероятности выживания кванта и угла наблюдения.
