- .
( ):
■ЭЮ (х) = 2 П/(х) д0Фу (х) - 8(х). (1.19)
Если в плотности лагранжиана или гамильтониана встречаются произведения операторов полей, то всегда предполагается, что произведения бозонных ;полей симметри-зованы, а произведения фермионных полей антисим-метризованы.
Существует простой способ построения физических токов и получения их дивергенций и коммутационных соотношений. Подвергнем поля бесконечно малому локальному калибровочному преобразованию
Фу (х) ->Фу (лс) + А(х) Gy [{Ф(*)}]. (1.20)
В первом порядке по бесконечно малой калибровочной функции А плотность лагранжиана 8 изменится на
68 = 6Л А + б (<Э„Л) <5аЛ>
где
l=S{wG/+-6(W^G/} (L22>
24
Глава 1
=У ,51 . Gj. (1.23)
6(<ЗаЛ) 6(даФ/) 1 v >
Вычислим теперь дивергенцию 4-векгора 62/6 (даЛ) .
да 6{даА) = 2{<5« 6(даФ/) °1+ 6(даФ,) d“Gi}‘ (124)
С помощью уравнения Эйлера — Лагранжа мы можем исключить величину da6&l6(da<£>j); тогда уравнение (1.24) примет вид
(1'25)
/
Другими словами, если обозначить через /“ ток, связанный с калибровочным преобразованием (1.20):
О-26)
то его дивергенция равна
д^а = ~ж- (1-27>
Таким образом, выражение для дивергенции через поля можно вывести непосредственно из плотности лагранжиана без использования уравнений движения Эйлера — Лагранжа. В частности, если 68/6А = 0, то ток /“ сохраняется. В силу соотношения (1.21) равенство 68/6Л = 0
означает, что плотность лагранжиана инвариантна относительно калибровочного преобразования (1,20) при постоянной калибровочной функции (даЛ = 0).
Чтобы изучить коммутационные соотношения для токов, мы рассмотрим конкретный случай, когда эти токи отвечают линейным калибровочным преобразованиям. Пусть Jf и Jg — два таких тока, отвечающих калибровочным преобразованиям
Ф/ (*) -> Ф/ (х) + Л (*) 2 fn®i (х) (1.28а)
и
Ф,- (х) -> Ф; (*) + Л {х) 'Iigjfidx) (1.286)
Основные гипотезы
25
соответственно. Из определений токов (1.26) и канонических импульсов (1.17) следует, что временные компоненты токов в этом случае просто билинейны по каноническим полям и импульсам:
/?(*) = - 2//«[П,(*)<!>,(*)]*
,г (1.29)
J°e {х) = - 2 gji [П, {х) Ф, {x))s.
п .
Мы предполагаем, что матрицы fjt и • gjt связывают только бозонные поля Фг с бозонными импульсами Пу или фермионные поля Фг с фермионными импульсами Пу, так что не возникает бозон-фермионных перекрестных членов. Квадратные скобки в (1.29) определяются следующим образом:
■j [П/ (х) Ф1 (х) + Ф1 (х) (*)] (бозоны),
j [Пу (х) Фг (х) - Фг (лт) Пу (л:)] (фермионы)
(1.30)
[Пу(х) Фг(дг) =
в соответствии с требованием симметризации или антисимметризации произведений полей.
Вычислим теперь одновременной коммутатор токов
и /°:
Uhx),fe{y)]l^ =
= 2 fjigi'i' [ [Пу (х) Фг (лг)]5, [Пг(у)Ф„(у)]| . (1.31)
jlj'l'
Используя канонические коммутационные соотношения (1.18), легко найти коммутатор в правой части (1.31):
11П; (*) Ф, (x)]s, [Пг (у) Фе (</)]s] 1^ =
= [Пу (дс) Фг (х) г'бу'б (х - у) -
- [Пу, (х) Ф, (х) г6г'у6 (х - у). (1.32)
26
Глава 1
Подставляя это выражение в (1.31), получаем [J°f (х), J°e (t/)] |х0=у0 = ib (х - у) X
X {6/Г [П; (х) Ф,' (x)]s- п [Пг (х) Фг (x)]s) =
