- .
( ):
Пусть сначала спины обеих частиц V2, a — по-
прежнему скалярный оператор. В этом случае величина F(k), определяемая равенством (8), совпадает по своей структуре с амплитудой рассеяния скалярного мезона на барионе и может быть представлена в следующей стандартной форме:
F (k) = щ [a (v, Д2) -f b (v, Д2) у ■ k{\ иъ
Pi • k\ . (27)
5. Дисперсионная теория нарушенных симметрий 175
В этом случае мы должны иметь дело с двумя инвариантными функциями. В рассматриваемом пределе ki~>0, v->0, £2->Л остается лишь первый инвариант.
Заметим, что в случае равных масс и направления вперед (Д = 0) мы имеем лишь одну инвариантную функцию a(v, 0), которая следующим образом связана с введенными инвариантами:
a(v, 0) = a(v, 0) + v£(v, 0). (28)
Такая ситуация возникает при вычислении констант перенормировки для частиц со спином У2, так что в этом случае мы будем использовать величину a(v, 0).
Если теперь есть 4-вектор, а спины частиц аь аг равны нулю, то разложение матричного элемента коммутатора на инварианты имеет вид
^ (Щ = Gi (v, A2) (pi + р2)м,+ G2 (v, A2) (p, - p2V + k^Gz (v, A2).
(29)
Наш метод в этом случае приводит к дисперсионным соотношениям для обоих инвариантов Gu G2 (G3 можно не рассматривать), которые соответствуют, например, формфакторам в распаде K-*nev.
В более сложных случаях число независимых инвариантов возрастает. Мы рассмотрим еще один пример в § 4.
3.2. В качестве первого приложения исследуем подробнее правила сумм для констант перенормировки. Мы уже видели, что в этом случае достаточно взять равные внешние массы и, следовательно, Д2 = 0. Напомним сначала некоторые полезные соотношения. Рассмотрим матричный элемент векторного тока между состояниями с нулевым спином
{р; I ■'!? | Рд - [(р, + р,\ ер М+(р, - рХ о?> (Д=)], (зо)
где с®2 — соответствующие коэффициенты Клебша — Гор-дана и второй формфактор Gia) возникает из-за несохра-нения тока Тогда
(Pi | Da (0) | р2> = / К - m!) ci2G{o (А2). (31)
176
С. Фубини, Дж. Фурлан, К. Росетти
где
G& (А2) = G[a> (А2) + А f ) (А22) . (32)
ml “ m2
Для частиц со спином '/2 аналогичные формулы имеют вид
<р. IСI р*>- [°? М v„+о«“’ М(р, - р,\+
+ Of(i2)<r„fp,-p!)v]«!, (30-)
<Pl I Da (°) I Р2> = Z (mi “ m2) C?2G0 (Д2) a\UV (310 0«,(Д,)-оГМ+^^-- (32')
Константа перенормировки определяется как значение Gd{А2) в пределе нулевого переданного импульса
ra=Gft>(0), (33)
так что в этом пределе мы можем написать
<Р, | Da | р2> = сУга (т? “ ml) (бозоны), (34)
<Pl | Da I Р2) = С?2г>а«1и2(т1 - m2) (фермиоиы). (34')
Чтобы получить инвариантные правила сумм для констант перенормировки, воспользуемся равенством (24)
1 1 lim—-1, F=-iO. (24')
aicaa 2ота v-»0 dv
В случае псевдоскалярных мезонов мы имеем лишь одну инвариантную амплитуду, которая удовлетворяет дисперсионному соотношению
F (V) _ 4&7"£+1 Г (35)
v ’ 2ma (v0 — v) 1 я J v'-v v '
где
v0 =
2 2
2me
После дифференцирования получаем 1 f Im F (v']
5. Дисперсионная теория нарушенных симметрий 177
В случае фермионов воспользуемся функцией а (28), для которой имеет место дисперсионное соотношение')
