- .
( ):
Спинор с положительной энергией нормирован так, что ы(р, s)u(p, s)= 1,
Обозначения
13
и оператор проектирования на состояния с положительной энергией равен
2 “(P. S)«(P> s) = ^T~-
Соответствующие формулы для спиноров с отрицательной энергией и полезные тождества с у_матРицами имеются, например, в приложении А книги [1].
§ 2. Матрицы изоспина и SU3
Изоспиновые матрицы ха (а = 1,2, 3) и т± = 1/2 (Т]
/т2)
равны
0 г 0 —г ' 1 0
Tl = . 1 0. > — i 0 > т3 — 0 —1.
ГО 1 о О
= 1 о о > т_ = 1 0
'0 0 0'
0 0 —1 00 11
.0 i 0.
-7=г О /3
матрицы (k = 1, ■ .. , 8) имеют вид
’0 1 0‘ '0 —i O'
А,! = 1 о 0 • Aig — 1 0 0
.0 0 0. .0 0 0-
■ 1 0 0' 0 0 Г
А.3 = 0 -1 0 , = 0 0 0 1
.0 0 0- -1 0 0-
0 0 —i 0 0 0"
а5= 0 0 0 * ^6 = 0 0 1 »
.1 0 0- -0 1 0-
=- О
, -2 /3 _
14
Обозначения
След, коммутатор и антикоммутатор двух А,-матрйц и ki даются выражениями
Sp (^k^i) =
[^ft> ^l\ ~ 2l'/\itnhmi {A.fc, A./} = -g &ki "b
в которых 1 обозначает единичную 3 X 3-матрицу и dkimlfkim) полностью симметрично (антисимметрично) по своим индексам. Отличные от нуля элементы /fe/m и йЫт равны
klm /fete klm dkim
123 1 118 1//3"
147 1/2 146 1/2
156 -1/2 157 1/2 .
246 1/2 228 1/V8
257 1/2 247 -1/2
345 1/2 256 1/2
367 -1/2 338 i/Уз
458 уТ/2 344 1/2
678 /372 355 1/2
366 -1/2
377 -1/2
448 —1/(2 Уз")
558 668 —1/(2 У1П —1/(2 Уз")
778 —1/(2 Уз)
888 -1 /Уз"
§ 3. Суммирование по индексам
Всюду, где это не может привести к недоразумениям, мы будем считать, что по повторяющимся в одной части равенства индексам производится суммирование.
Греческие индексы ц, v, Я, а, |, т] обозначают компоненты 4-векторов и суммируются от 0 до 3.
Латинские индексы г, s, t обозначают пространственные компоненты 4-векторов и суммируются от 1 до 3.
Обозначения
15
Латинские индексы а, , с, j, k, I, m, n используются в качестве 5(/3-индексов и суммируются от 1 до 8. (Эти же буквы могут обозначать индексы изоспина, тогда они суммируются от 1 до 3).
Знак полностью антисимметричного трехмерного тензора ъы фиксирован условием е123=1; заметим, что erst = —erst. Знак полностью антисимметричного четырехмерного тензора фиксирован условием в0123=1.
§ 4. Метрика Паули и „словарик” для- перевода формул
Мы рассмотрим также другую часто употребляемую метрику, так называемую метрику Паули. Эта метрика используется во многих статьях, помещенных в книге, а также в гл. 2, § 3, п. 2, где рассматриваются выражения, взятые из статьи Чью, Голдбергера, Лоу и Намбу ([11], в гл. 2) по фоторождению (в которой употребляется метрика Паули). В этой метрике используются лишь величины с нижними индексами. Координаты обозначаются 4-вектором
= {хь хъ х3, х4) = (х1г х2, х3, ix0) =
= (х, у, z, it) = (х, it).
Точно так же определяется 4-импульс частицы Рп 35 (Pi> Рь Ръ> Pi) = (Р*> Ру. Pz, iE),
так что
4
р2 = РиРи = = —/И2-
11=1
Скалярное произведение двух 4-векторов равно
4
Pi ' Pi == Pin P211 = 2 Р1М.Р211 = Pi * P2 —
11=1
оно отличается знаком от скалярного произведения в метрике Бьёркена — Дрелла. 4-вектор электромагнитного потенциала равен Лр. = (А, г'Ф).
Четырехмерный градиент обозначается символом
д
16
Обозначения
чётырехмерная дивергенция £ц = (В, iB0) имеет вид
