- .
( ):
&) = 0{qk)-Ar(qx + kx)(tf\ztIm J (2.13)
Другими словами, член (В) пропорционален векторному матричному элементу частиц мишени
Наконец, мы должны рассмотреть член (Б), который содержит коммутатор временной компоненты аксиально^ векторного тока с дивергенцией аксиально-векторного тока. Этот коммутатор не определяется гипотезой Гелл-Манна об алгебре токов. Как мы отмечали в гл. 1, Вайнберг постулировал для него выражение, полученное в а-модели:
ЪТ (У), ЗГ (*)] |о = iMl ь, б (у - х) Б (х),
К(х), (у). (2.14)
Видно, что член с 2 в (2.14) дает поправку порядка массы пиона по сравнению с членами (А) и (В). Если поло-
96
Г лава 2
жить массу пиона равной нулю, как это сделано в ст. 3, то такие 2-члены вообще не возникают. На практике 2-членом можно, по-видимому, пренебречь, если он действует на барионные состояния. Если же он действует на пион-ные состояния, то его следует учитывать. В ст. 4, посвященной пион-пионному рассеянию, Вайнберг показал, что матричный элемент (л|2|л) 'определяется гипотезой о частичном сохранении аксиально-векторного тока и алгеброй токов. Подытоживая, мы видим, что равенство (2.10) позволяет связать матричный элемент рассеяния мягкого пиона на мишени t с вершинами
Этот метод легко обобщить на случай испускания произвольного числа N мягких пионов, хотя формулы при этом становятся довольно сложными. Вместо равенства (2.10) нужно использовать тождество
которое получается повторным применением равенства
') Если t — нуклон N, то из (2.10) получается следующая низкоэнергетическая теорема для нечетной по изоспнну части амплитуды:
ного рассеяния вперед. Эта формула, полученная в ст. 1 и работе Вайсбергера ([17] в гл. 1), представляет собой низкоэнергетическую формулировку правила сумм для gA.
+ Одновременные коммутаторы,
(2.15)
1 2m2n агЯЛГ(-)
где Г"** ' — нечетная по изоспину часть амплитуды пион-иуклон-
Низкоэнергетические теоремы для пионов 97
х^>3)-••<>„) + ...
•••+<%)••• х *(*?-*“) [s“(*,), C"W])- (2Л6)
Член с одновременными коммутаторами состоит из цепочек коммутаторов вида
К-[«?........К_,'С“]--]] • <217>
или
[в?, [в?,..., [«£_,, *„«£“] • • • ]]• (2-18)
где lu ... , lm — некоторая часть набора /,, ... , /„. Обе эти цепочки коммутаторов можно вычислить', используя алгебру токов и равенство (2.14). Это позволяет, как и в случае с двумя пионами, выразить матричный элемент с п мягкими пионами через матричные Элементы аксиально-векторного тока, векторного тока и оператора 2. Абарбанела и Нуссинов [1] с помощью соответствующей комбинаторики свели равенство (2.15) к набору правил для вычисления матричного элемента испускания многих мягких пионов. Вайнберг [2] предложил изящное каноническое преобразование, сводящее эту задачу к построению эффективного лагранжиана, из которого непосредственно видны правила для вычислений.
Какую ошибку можно ожидать при вычислениях вероятностей испускания многих мягких пионов? Чтобы ответить на этот вопрос, допустим, что масса пиона равна нулю, так что S-члены отсутствуют. Рассмотрим два примера
