- .
( ):
1. МЕТОД ФУБИНИ И ФУРЛАНА
Наиболее простой вывод основан на методе, предложенном недавно Фубини и Фурланом [13]. Возьмем матричный элемент от соотношения (7) между протонными состояниями (р(<?)| и | p(q')). В правой части получаем
(р (q) 12Я | р (q')) = 2я3б (q — q'). (8)
В матричном элементе коммутатора воспользуемся разложением по полному набору промежуточных состояний, выделив однонуклонный член (в который дает вклад только нейтрон):
(Р (<7) I h+ (0. (011 Р (<70} =
= 2 I тЦг (Р (q) 10С+ (t) I п (k)) (п (k) | Х- (t) I р (<?')> +
Спин
+ S (р (я) IХ+ (t) I /> </ I (t) I р iq'j) ~ (%+ ^ %-). (9)
I
60
С. Адлер
Вклад нейтронного состояния легко вычислить, исполь зуя соотношение (3). Он равен
S w(р (д) 1 х+ {t) 1 п (к)) {п (k) 1 {t) 1 р {q,))"
Спии
= J W «6(q -к)(2я3)6(к - q') X
(М., М.,\ „ , ч fk + iM.,\
х bf )ё^)уН~ЩПши(с1')==
= (2K)36(q-q')^fl-^-). (10)
V % /
В сумме по высшим промежуточным состояниям вое* пользуемся соотношением (5); это дает
(р (?) I J ^Фя+ I /> (11 J rf3*<P„-! Р Ш
[ grKNm(0) \ £n (<70-9/0У
— (л+ ■*-*■ л~). (11)
Из выражений (10) и (11) нетрудно видеть, что существует семейство правил сумм, в котором q0 является параметром. Правило сумм для 1 — gj2 получается в пределе, когда q° стремится к бесконечности. Предположим, что предельный переход можно совершить под знаком суммы по промежуточным состояниям в выражении (11). Полезно записать эту сумму в виде
оо
S-Jw J dW^iV-Щ, (12)
i¥*N МЫ+МЯ
внут
где q/ — полный импульс, а „внут“ означает внутренние переменные системы j. Через Mj мы обозначили массу системы. Интегрирования по х и q/ можно выполнить явно, в результате чего получим множитель (2n)36(q — q') и условие q/ = q. Напишем
(J I Ф„± (0) I Р (<?)) = Щ'1 Ff, (13)
1. Правила сумм для перенормировки константы связи 61
где Ff — лоренцевский скаляр. Тогда для суммы по высшим промежуточным состояниям имеем
(2л) 6(q q ) grI(NNn J х
X f dW 2 biW-M^^-iqo-q^X
MN+Mn !ФЫ 0/0
внут
X [ I /=7 I2 - I Ff I2]- (14)
Если воспользоваться соотношениями
ql0-(ql + M*-M%)\ (15a)
(15б>
то предел выражения (14) при qQ^>oo примет вид
I<2я)1 * (“ " .dw х
Mfii+Mjt
.jo^oo \ %(% + W -Мы)1г J X lim {K~ [W, (q - q,f\-K+[W,(q~ q,f ] (16)
qt-^oa
здесь мы ввели величину /С* \W, (q — qj)% определяемую равенством
** [W, (q - q,f] = 2 6 (W — M,) Ff |2. (17)
!ФЫ
внут
Заметим, что функция /С* может зависеть только от явно выписанных переменных, потому что 1) /(* является лоренцевским скаляром и 2) по всем внутренним переменным проведено суммирование').
') Усреднение по спину начального протона подразумевается, хотя и не показано явно.
62
С. Адлер
Теперь нетрудно вычислить указанные пределы. Предел выражения в фигурных скобках равен 4, а предел квадрата переданного импульса
{q-q,Y=-[q0-(ql+W*-M%)*]*
равен 0. Таким образом, правило сумм принимает вид
1 2 М% 7 mNWdW
X [tf+(№,())-/г (№, 0)]. (18)
Для завершения вывода нужно выразить /С* (W, 0) через сечения лион-протонного рассеяния. Пусть af (W) обозначает полное сечение рассеяния л±-мезона с равной нулю массой на протоне при энергии W в системе центра масс. Прежде всего вычислим of (W) в системе центра масс. Если k и ^ — соответственно 4-импульсы пиона и протона в начальном состоянии, то
