- .
( ):
Послесловие. Дальнейшее развитие алгебры токов 411
лагранжиана вспомогательные поля, что и приводит к его нелинейности.
Рассмотрим в качестве примера пион-пионное взаимодействие. Построим сначала лагранжиан, инвариантный относительно группы SU2 X SU2. Из одного пионного поля я невозможно построить инвариант этой группы. Вводя вспомогательное скалярное изоскалярное поле а, цолучаем единственный инвариант
л2 + 02 = ^, (2)
который должен быть с-числом. Поэтому простейший инвариантный лагранжиан имеет вид
^нв = 4- Kd3C>“ + (3)
Вводя простейшее нарушение симметрии, при котором выполняется гипотеза о частичном сохранении аксиально-векторного тока (см. гл. 1, § 2, п. 2), получаем искомый лагранжиан
2 = ъКдяР+ №)*} + № fa (4)
где а выражается через я по формуле (2). Разлагая его до членов порядка л4, получаем лагранжиан, описывающий четырехпионную вершину:
£4 = i[(^2f-M|(*2)2], (5)
°#Я
из которого получаются длины пион-пионного рассеяния, совпадающие с результатом алгебры токов. (Заметим, что при выводе этого результата в ст. 4 были использованы свойства 2-оператора, как раз вытекающие из рассмотренной ст-модели.)
Эффективный лагранжиан для взаимодействия пионов и нуклонов получен в работе [2] гл. 2. С его помощью легко получить длины лМ-рассеяни'я, причем соответствующие диаграммы типа деревьев, как указано выше, не применимы вдали от порога реакции. Рассмотрим, однако, обобщенный эффективный лагранжиан, содержащий поля N, я, jV33 и р. Какому приближению соответ-
412
Л. Д. Соловьев
ствует описание яЛ^-рассеяния вдали от порога с помощью отвечающих ему обобщенных диаграмм типа деревьев? На этот вопрос легко ответить с помощью формулы (2.10) гл. 2, примененной к яЛ^-рассеянию. Эта формула типа тождества Уорда, выражающая амплитуду через коммутаторы, является точной, причем вдали от порога в ней нужно учитывать все, а не только полюсные члены. Это можно сделать лишь при модельных предположениях. Нетрудно понять, что если произведения операторов в правой части этой формулы разложить по промежуточным состояниям и среди них учесть лишь я-, N-, Nзз- и р-частицы и предположить, что соответствующие вершины являются достаточно гладкими функциями, то мы получим выражение, отвечающее обобщенному эффективного лагранжиану. Подобные модели, называемые моделями с жесткими пионами, в последнее время часто используются для получения поправок к низкоэнергетическим теоремам или для анализа процессов, к которым эти теоремы неприменимы (например, р->яя, А\—>ря) (см. работы [15] и ранее упомянутые работы [12]). Обсуждение моделей не входит в задачи этой книги. Мы упоминаем о модели с жесткими пионами, потому что она поясняет смысл использования эффективных лагранжианов в приближении диаграмм типа деревьев. Заметим, что использование эффективных лагранжианов существенно сокращает выкладки и в этом случае. Отметим также, что обобщенные эффективные лагранжианы обладают свойством дуальности (см. ниже). Одновременный учет диаграмм с N, N33 и р в яЛ^-рассеянии, вообще говоря, мог бы привести к удвоению длин рассеяния, которые получаются либо с помощью N и N33, либо с помощью р. Однако симметрия лагранжиана приводит к появлению добавочных контактных вершин, которые и восстанавливают правильный (дуальный) результат.
