- .
( ):
2. Парные состояния
Как отмечалось выше, мы используем обозначения и кинематику гл. 4. Конкретно, мы будем изучать правило сумм, выведенное в соотношениях (4.10) —(4.19), где Л^ = Л1мл,+ Л11*1'’ определяется формулами (4.13).
Рассмотрим некоторое адронное состояние | п) с определенной массой Мп. Это состояние будет появляться в /4WV дважды: один раз как прямое состояние (фиг. 5.1, а), а в другой раз в составе парного состояния (фиг. 5.1,6). Общий вид вклада этого состояния в кова-риантную величину Л1мл1 имеет вид
ЛГ = [P^G'n(q2) + qWGlif) + g^Gl(</2)] X
X [e (v) 6 (2v -f q2 + M2 — Ml) + (v — v)] +
+ 1[РУ + РУ]0«(<72)Х
X [e (v) 6 (2v + q + M2 — Ml) — (v <-* — v)] +
+ Члены, нечетные относительно q —> — q, (B.l)
где M — масса внешней частицы p, а величины G являются по существу произведениями формфакторов, которые входят в матричный элемент (Pl§v(0)|n). Выражения для величин А в теории свободных полей (4.35) и (4.43) представляют собой частные случаи общей формулы (В.1). Так как полная величина Л1мл’ равна
Дальнейшие сведения О правилах сумм
341
сумме членов вида (В.1), то мы можем записать правило сумм (4.15) (стр. 249) в виде
Л 10°
2 J jpydv
+ (вклад от /4П) = 4/з 0). (В .2)
q фиксирован
Для того чтобы изучить вклады парных состояний при j Р ! —> со, полезно переписать (В.2) следующим образом:
^ J ° ~ ^гЯгАп + Яг<1sAnS d_'
+
q фиксирован
+ (вклад от А11) = 4/3 (Р), (В.З)
вводя явно улучшающий сходимость множитель v-2. [Как отмечалось в гл. 4, это улучшение' сходимости является следствием гипотезы о частичном сохранении, которая утверждает, что величины qxqaAXa и q%AKa не более сингулярны, чем АХа.\ Подставляя общее выражение для величины А1п* [соотношение (В.1)] в (В.З), получаем
V Г Gn(?2)8(v)6(2v + ?2 + M2-Mn) . ,
z J------------------?--------------~dv+
ft
+ 2q2^J Gl С-?2)8 (v)6 (2v + ? + М2 - Ml) ^ + ft
, 4 V f °n (?2) 8 ^ 6 (2v + q2 + M% " Mn] j ■
+ q 2|J -----------------?--------------~dv-
n
2v f Gn^eMfifSv + ^ + M^M2) f _
-q 2j) —-----------------?--------:-----dv +
где
+ (вклад от /411) = 2/3(Р), (В.4)
Ol = v2G‘n + q4G2 + q2Gn + vq2G*„
Oi = q2G2n + Gl+-fvGl
(B,5)
342
Глава S
а интегрирования должны проводиться при фиксированном q2. В соотношении (В.4) слагаемые, содержащие G\ и Gni возникают из членов qt,qaAlna и q\qrAlnr в (В. 3), тогда как часть, содержащая величины G2 и Gl, возникает из члена qrqsAnS. Как обычно, мы положили Р . q = 0 и воспользовались симметрией подынтегрального выражения относительно замены vv для того, чтобы исключить половину членов в (В. 1).
Теперь легко найти точное условие обращения в нуль вклада парного состояния, соответствующего данному состоянию п, при | Р |-> оо. Вклад парного состояния соответствует нулю аргумента 6-функции в той точке, которая при | Р |->оо стремится к v = — 2(Р0)2, так что вклад одного парного состояния имеет вид1)
рНш { - [Gl (4 (Р0)2) + 2q2Gl (4 (р0)2) +
+ q4Gn (4 (Р0)2) ~ q2G« (4 (Р0)2)]} (В. 6)
и, безусловно, обращается в нуль, если каждая из величин G„ удовлетворяет соотношению <7-4G„(<72)-* 0 при <72->оо. Как упоминалось выше, величины G„ являются по существу произведениями формфакторов, а так как измеренные экспериментально формфакторы (например, электромагнитные формфакторы протона), по-видимому, обращаются в нуль при <72-* оо, то естественно предположить, что условие q^Ghiq2)-*0, 1 = 2, 3, б, 6, выполняется для. каждого состояния п.
