- .
( ):
Для получения этой формулировки Гелл-Манн ввел гипотезу алгебры токов. Сначала он заметил, что для фиксирования шкалы лептонной и адронной частей слабого тока требуется нелинейное соотношение, например такое, как коммутатор компонент тока. Чтобы угадать правильное соотношение, он рассмотрел сначала лептон-ный ток Jf. Определим лептонный заряд
^,+ “Т J = d3jcK(1_Y5)^ + ^(l-Y5)e] (1-62)
и ему сопряженный Wl_ = Wf+ = j\ y5)(1 -y5)ve]. (1.63)
Одновременной коммутатор Wi+ и -W равен
[Wt+, Гг_] = 2Wl3, (1.64)
где
Wl3 = j. J К 0 “ V5) ^ ^ (1 - Y5) I* +
+ v+(l-Y5)ve-e+(l-Y5)4 (1-65)
Далее, коммутатор W13 и Wi± равен
[Wa, Wi±]=± Wi±. (1.66)
3*
36
Глава I
Таким образом, операторы Wi± и W13 образуют при одновременной коммутации замкнутую алгебру St/2* В формулировке универсальности Гелл-Манна постулируется, что адронные заряды
Wh+ = у J d3xfh, Wh. = Wl+ (1.67)
удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям алгебры SU2, что и лептонные заряды
[Wh+, Wh-] = 2Wh3,
[Wm, Wh±] = ± Wh±. U’
Предполагая, что адронный ток дается формулой (1.13), и используя проинтегрированную алгебру (1.56), находим, что соотношения (1.68) удовлетворяются, если
Wh± = j (Fi ± iF2 - F\ + iFl) cos 0C +
+ y (/ч ± iFt -Fl + iFl) sin 0C (1.69)
и
= I (:l + COS2 0C) (ft - Fl) + J VI Sin2 0c (Fs - f|) -
- у sin 0c cos 0c {Fb -Fl). (1.70)
В том, что выражения (1.69) и (1.70) действительно удовлетворяют соотношениям (1.68), можно убедиться непосредственной, но трудоемкой проверкой, которую мы предоставляем читателю. Таким образом, определение слабого тока (1.13) и постулированные коммутационные соотношения (1.56) достаточны для того, чтобы обеспечить универсальность в смысле соотношений (1.68). Обратно, Гелл-Манн и Нееман [8] показали, что если слабый ток представляет собой произвольную комбинацию векторного и аксиально-векторного октетов, то из универсальности следуют алгебра (1.56) и выражение (1.13) для слабого тока.
Постулат универсальности не фиксирует угол 0С. Экспериментально фактор tg 0С « 0,27, соответствующий значению угла Кабиббо 0С 0,26 рад (15°), объясняет
Основные гипотезы
37
подавление распадов с изменением странности относительно распадов, в которых странность сохраняется [9]. При этом фактор cos 0С 0,97 также может объяснить различие между Gn и 0^!
Заметим, что адронные заряды можно переписать в виде Wh± = Wh± (6с), где
Wh ± (0) = e~mF'\ (/=■, ± iF2 -Fi + iF§emp\ (1.71)
В этом проще всего убедиться с помощью дифференциального уравнения Wh±(Q)= - Wh±(Q) и граничных условий
Wh ± (0) = j (f, ± iF2 -f! + iFt)
и
W'h±{ 0) = -j {F, ± iF5 - F\ T iF$,
которые полностью определяют Wh± (0). Таким образом, Wh± получается из
WH±(0)^j(Fi±iF2-F5iTiFt)
вращением в пространстве SU3. Легко проверить, что Гл±(0) удовлетворяет (1.68), поэтому мы получаем простое доказательство того, что Wh±(Q) также удовлетворяет (1.68) для любого 0 (показатели экспонент в коммутаторах сокращаются). Формула (1.71) позволяет уточнить смысл угла Кабиббо 0С. Поскольку заряд сохраняется, а лептонный ток изменяет заряд, то, следовательно, адронный слабый ток должен переносить единицу заряда. Наиболее общее выражение для векторного и аксиально-векторного токов, принадлежащих к октету и переносящих единицу заряда, получается (с точнос’тью до несущественных фаз) вращением вокруг 7-й оси тока, направленного по (1 ± /2)-оси. Универсальность требует, чтобы углы вращения для векторного и аксиально-векторного токов были одинаковы, но не определяет этого общего угла. Фактически в любой теории, которая не позволяет явно вычислять нарушение 51/з-симметрии, нет способа фиксировать угол 0. Дело в том, что этот
