- .
( ):
1. ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО
Исходным при получении правил сумм является тождество')
оо
_L Г dt в1*'-* (N | [A (t), В (0)] | N) =
Яа J
= ~i(N\[A(0),B(0)]\M) +
+ (2<7o)_1 (VI [A (0), В (0)] + [В (0), A (0)] | N) +
оо
+ <7o J dt e(NI [A (t), В (0)] | N). (46)
о
Здесь через „
АЦ)=*Ш, B(t) = ^P- (47)
обозначены производные операторных функций A(t) и B(t) по времени. Равенство (46) легко получить путем повторного интегрирования по частям. Оно справедливо для всех* значений q0, лежащих в верхней комплексной полуплоскости. В этой статье операторы А{$) и B(t) будут всегда иметь следующий вид:
A (f) - - г J сРх е~ А (х, t),
B(t)= - i J d3y eis-y%B (y, t)-, (48)
= ^ или = Ъьа или Ща.
*) Равенство (46) представляет собой более симметричную форму равенства (37), использованного в работе [2]. Равенство (46) остается
справедливым и в том случае, когда (N | и | N} заменяются любыми
двумя состояниями с одинаковыми 4-импульсами.
19 Зак. 583
290
С. Адлер
В работе [2] мы исследовали тождество (46) при s = 0 и получили в пределе q^-^O правило сумм при q2 = 0. В этой же статье мы рассмотрим случай 8#0ив пределе qo~>0 получим правила сумм для фиксированного q2 (q2 = | s Is).
Все выводы, приведенные ниже, обладают некоторыми общими чертами. Во-первых, мы будем использовать равенство (46) в системе покоя нуклона N, усредненное по спину нуклона. Во-вторых, каждый член в равенстве (46) можно разбить на симметричную и антисимметричную части по индексам унитарного спина а и . Мы будем рассматривать это тождество только для антисимметричных частей. В каждом случае, рассмотренном ниже, мы покажем, что член
U = {2q0y1 (N | [А (0), В (0)} + [В (0), А (0)] | N) (49)
полностью симметричен по индексам унитарного спина, и потому не дает вклада. В-третьих, выражение
<7„J Ле'«-ЧЛМИ(/),Я(0)ЛЛ0‘
у Г <лг|8д1РХР18в|лг)
р. внут L ?o + Mjv - (I +
N->
(2я)2 6 (0) (50)
в пределе qo-*-0 обращается в нуль для всех ] s I2 > 0. Поэтому третий член в правой части тождества (46) це дает вклада в правила сумм !).
Наконец, мы покажем, что антисимметричная по индексам унитарного спина часть выражения
J
dt е1^'1 (N | [A (t), В (0)] | N) (51)
о
') При I s |2 = 0 только однонуклонйое промежуточное состояние (Alp = MN) дает вклад в этом пределе. Этот случай рассмотрен
в работе [2].
11. Локальные коммутационные соотношения токов 291
всегда является нечетной функцией q0. Если обозначить ее через 0{q„,q2), то в пределе q0->0 тождество (46) перейдет в равенство
■3“- О (<7о, <72) I =С, (52)
°ч о i90=o
где С — антисимметричная по унитарному спину часть коммутатора — i (N\ [А (0), B(0)]\N). Равенство (52) означает, что коммутатор А и В связан с производной по энергии от амплитуды рассеяния вперед, взятой при нулевой энергии. Вплоть до этого места вывод является строгим. Теперь, для того чтобы связать левую часть равенства (52) с физически наблюдаемыми величинами, мы предположим, что производная по энергии (d/dq0) О (q0, q2) удовлетворяет дисперсионному соотношению по энергетической переменной q0 при фиксированном q2 без вычитаний. Скачок функции (d/dq0) О (q0, q2) на разрезе будет в каждом рассматриваемом случае связан с соответствующими структурными функциями, определенными формулами (41).
