- .
( ):
э) fpkmfmlq fplmfmkq “ fklmfpmq>
б) fpkm^mlq ^plmfmkq = /klm^pmqt (1.50)
в) dpfcmdmiq dpimdmfi(l -f- "g" {&kp^lq ^kq^lp) ~ fklmfpmq>
которые получаются из тождеств для следов
Sp([Arp, ^q\ |Лр> ~
= Sp ([A.j, Kj\ [Я^, Яр]),
б) sp([v bk]{h, h}frb У ) =
= Sp([Xft, ■ (!-51)
B) Sp({A/p, A,?} {Яр, Л?}) =
= sp([л*, yiv л,,]).
Одновременной коммутатор дивергенции аксиальновекторного тока с временной компонентой аксиальновекторного тока также имеет простой вид в октетной ст-модели. Из выражений (1.48) и (1.49) непосредственным вычислением получаем
№(*), s?°O0]w,-
= - ib (х - у) ц*А |/"-| j а'ы + dklmam). (1.52)
32
Глава 1
Правая часть соотношения (1.52) упрощается при 1 ^ k, / < 3, так как для индексов, пробегающих эти значения, dklm = 3~',26kfimS. Отсюда следует, что
[да%1а{х), Sf° (г/)] U,„ =
= — /б (х — у) 6klnlA ]/1(-|/|о/ + уГ(Т8) =
= бм X Изоскаляр, 1 /^3. (1.53)
§ 3. Гипотеза алгебры токов
1. АЛГЕБРА ВРЕМЕННЫХ КОМПОНЕНТ
Почти все статьи в этой книге базируются на гипотезе Гелл-Манна [16] об алгебре токов. Эта гипотеза утверждает, что временные компоненты физических векторного и аксиально-векторного октетов [г. е. октетов, которые могут быть измерены в электромагнитных и слабых взаимодействиях адронов; см. (1.1) — (1.14)] удовлетворяют одновременным коммутационным соотношениям кварковой модели
[8SW. 8!(#)]U„-»(x-y)f„n3«„(*), (1.54а)
(8! W, 8f to)] - а (X - у) /и.«5 W, (1-546)
[«Г М. *? (»)] W- (1 -54в)
Определим восемь „зарядов аксиального октета" F)
F5t (л:0) = J dh%f(x); (1.55)
тогда из соотношения (1.54) следует, что F® и Fj из (1.4) удовлетворяют одновременным коммутационным соотношениям
[^(А Fi(x0)} = ifklmFm(x°), (1.56а)
[^(А F5i(xa)] = ifktmFrm(x°)' (1.566)
[W, (1.56в)
Проинтегрированные коммутационные соотношения (1.56) являются более общим вариантом гипотезы Гелл-Манна,
Основные гипотезы
33
чем (1.54), так как даже если бы в правой части соотношений (1.54), кроме членов с б-функцией, присутствовали члены с производными, то соотношения (1.56) и тогда остались бы справедливыми.
Существует ряд соображений в пользу гипотезы Гелл-Манна. Приведем два наиболее важных.
1) Соотношения (1.54) и (1.56) определяют, в каком смысле SUз-симметрия является точным, а не приближенным свойством природы. Как мы видели в § 1, физически наблюдаемые заряды векторного октета отождествляются с унитарными генераторами. Соотношение (1.56а) постулирует следующее: несмотря на то что гамильтониан сильного взаимодействия ввиду нарушения 5С/3-симметрии не коммутирует со всеми генераторами, при коммутировании между собой генераторы в точности удовлетворяют алгебре SU3. Далее, однократно проинтегрированное соотношение (1.546)
[W, (1.57)
дает даже в случае нарушения St/3-симметрии точный смысл утверждению о том, что временные компоненты аксиальных токов образуют октет. Вообще октетом Ot(x) называется набор восьми величин, удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[Fk(x% Oi{x)] = ifklmOm(x). (1.58)
Тензорное произведение двух октетов Tlm(x) удовлетворяет соотношению
[Fk (лг°), Тш (лг)] = ifkinTnm М + ifkmnTin (*) (1.59)
и т. д. Эта классификация тензоров по коммутационным соотношениям с Fk аналогична обычной классификации тензорных операторов в теории углового момента.
