- .
( ):
Зависимость правила сумм от Р теперь стала явной, и его предел при | Р |->ро легко вычисляется. В результате получаем равенство
А (Р, q) = (2л)3 2 | (р (Р) | й-1 я) |2 X
П
Хб ЦР + Я-РП), д*>0,
А (Р, q) = - (2я)3 2 I <Р (Р) i didi-121 n) I2 X
П
X6 4P-q-Pn), qn< 0.
(4.6)
или
(4.7)
(4.8)
(4.9)
248
Глава 4
которое и. является искомым правилом сумм с фиксированным q2.
Необходимо подчеркнуть, что мы предположили законность перехода к пределу под знаком интеграла; никому не удалось найти для этого строгого доказательства. Однако по причинам, которые мы обсудим в конце этой главы (стр. 53), большинство физиков считают, что результат (4.9) верен.
Можно попытаться проверить правила сумм, подобные (4.9), используя для А приближёние частичного сохранения аксиально-векторного тока, т. е. полагая д$5К = сФя в выражении (4.5) и пренебрегая влиянием выхода за массовую поверхность. Это приближение имеет смысл, так как в интеграле величина ф фиксирована и равна нулю, а гипотеза о частичном сохранении аксиально-векторного тока предполагается справедливой для малых q2. Если в качестве р взять нуклон, то равенство (4.9) перейдет в правило сумм для gA '), которое обсуждалось в гл. 1 (стр. 272). Успех этого правила сумм и его аналога для токов с изменением странности дает некоторое апостериорное оправдание предельного перехода, использованного при выводе соотношения (4.9).
Подобным же образом можно теперь вывести другое полезное правило сумм, которое является основой для приложений, рассматриваемых в § 3. На этот раз раст смотрим локальный коммутатор следующего вида:
Г Г e^X+i2(x)d3x, f е'ч-уЗ?_г2(г/МУ|| =2F3, (4.10)
L </• •) J l^oe^o
где мы воспользовались равенством
[3?+и (х), 8?-и (г/)] |*„=г/0 = 263 (х - у) $з (у). (4.11)
Мы снова будем изучать матричный элемент этого коммутатора между одночастичными состояниями | р). Все величины мы усредним по спину, так что полученные
') Спин нуклона легче всего учесть, усреднив все выражения по спину. Однако вклад одн жуклонного промежуточного состояния нужно исследовать отдельно, так как равенство (4.3) несправедливо для однонуклонного промежуточного состояния.
Правила сумм
249
результаты будут верны для частиц с любым спином. Далее, мы не будем явно использовать тот факт, что токи (5^± i2 сохраняются, так что наши результаты будут справедливы и в том случае, когда векторные токи заменены на несохраняющиеся аксиально-векторные токи.
Беря матричный элемент равенства (4.10), усредняя по спину и делая те же преобразования, которые привели к соотношению (4.2), получаем
(2я)3 2 (I (Р (Р) I Ъ°1+12 (0) [ ft) Р —
п
- | (Р (Р) I 81-12 (0) | ft) I2) б3 (Р + q - Р„) = 4Р% (Р). (4.12)
На этот раз мы не будем делать выкладок, ведущих от соотношения (4.2) к (4.4), а сразу же введем величину /Г, определяемую равенствами
(Р, q) = (2л)3 2 [<Р (Р) I (0) | ft) X
П
X (ft I ST-<2 (0) | p (P)) 64 (P + <7 ~ Pn)l q*> 0, (4.13a)
и
Л11" (P, q)=- (2nf 2 [<P (P) I (0) I n) X
П
X (ftl5?+i2(0)|p(P))64(P-^-P„)], q°< 0. (4.136)
Ясно, что величина Л'*'’ будет играть ту же роль, что и функция Л в предыдущем примере. С помощью Лцу правило сумм (4.12) можно переписать в виде
