- .
( ):
§ 2. Использование бесконечного импульса
Ключевой в области применения алгебры токов была работа Фубини и Фурлана [6], когда они показали, что правила сумм типа (4.2) можно преобразовать к виду, в котором q2 не меняется при переходе от одного промежуточного состояния к другому. Решающим при этом является то обстоятельство, что равенство (4.2) предполагается справедливым для всех Р; так что на самом деле-мы имеем целое семейство правил сумм —свое для каждого значения Р. То, что различные правила сумм не тождественны друг другу, легко понять, если вычислить квадрат переданного импульса q2 = {Р — Рп)2, соответствующего промежуточному состоянию | п):
q2 =[(M2 + V2f -(M2n + V2f]\
где Мр и Мп — массы состояний | р) и | п). Ясно, что q2 зависит от Р, так что правила сумм действительно отличаются друг от друга. Мы видим, что для любого конечного значения Р величина q2 зависит от Мп; но если
246
Глава 4
возможен переход к пределу |Р|—»оо, то мы можем получить правило сумм, в котором
<72 = |рПm [(Л1| + Р2),/г-(Л12 + Р2)‘/2)2 = 0
не зависит от Мп. В своей первоначальной работе Фу-бини и Фурлан [6] использовали именно этот метод для получения правила сумм с фиксированным q2. С тех пор были развиты более тонкие методы, использующие теорию дисперсионных соотношений. Мы в основном будем применять первоначальный метод с предельным переходом |Р|->оо, который нам кажется более физическим. В последнем параграфе этой главы мы рассмотрим дисперсионный метод вывода правил сумм и покажем, что он эквивалентен методу бесконечного импульса.
Рассмотрим подробнее, каким образом переход, к бесконечному импульсу | Р | превращает равенство (4.2) в правило сумм с фиксированным q2. Наш метод состоит в том, чтобы преобразовать равенство (4.2) к виду, в котором вся зависимость от | Р | станет явной; после этого переход к пределу будет тривиальным. Для простоты предположим, что внешние частицы р не имеют спина. Воспользовавшись тождеством
|»(Р)18?.НЧ»>Г- <МР,|ад“
pU _ DU г ГП
(4.3)
которое справедливо, когда Р = Р„, перепишем равенство (4.2) в виде !)
(2л)32[(1<Р (Р) I I «> Р -
п L
-1 (Р (Р) I 1 п) I2)= 4^/3 (Р). (4.4)
’) Поскольку (Р | g5*- | р) = 0 для бесспиновых частиц, в это правило сумм дают вклад только состояния л^ри, следовательно, величина j/*0 — Р® | в равенстве (4.3) никогда не равна нулю.
Правила сумм
247
Далее, в качестве промежуточного шага введем функцию А, зависящую от Р и от вспомогательного 4-век-тора q:
Нетрудно видеть, что с помощью функции А равенство (4.4) можно переписать в виде
где мы ввели переменную v = (Р • q) = P°q° — Р • q, которая сводится к v = P°q° при q = 0. В этот момент читатель вправе спросить, почему мы проделали столько преобразований лишь для того, чтобы переписать равенство (4.2) в виде (4.7). Дело в том, что по построению функция А является лоренцевским скаляром и потому может зависеть от Р и q только через скалярные произведения v и q2 (скаляр Р2 фиксирован и равен М|). В переменных v и q2 условие q = 0 эквивалентно равенству q2 — (q°)2 = (y/P°)2< и. следовательно, мы можем записать равенство (4.7) в виде
