- .
( ):
(1-40)
с другой калибровочной функцией и имеет вид
Применяя соотношение (1.33), мы находим, что по отношению к одновременной коммутации временные компоненты векторного и аксиально-векторного токов в кварковой модели образуют замкнутую алгебру:
[8°. М. 8! (у)] - »(х - у)
[8? W. SPWIL.,-i6 <х - У> (шЛ. (*)•
Чтобы лучше понять структуру соотношений (1.42), введем киральные токи и [называемые так
из-за присутствия киральных проекционных операторов у2 П Ч= V,)!
Sf - i (SJ+Sp) 1 + vj ? кч-
Основные гипотезы
29
Одновременные коммутационные соотношения временных компонент киральных токов
W. »(* - у) /„„8“ W.
[8TW, 8,и(!/)1|„^-И(х-у)?ы„8«М, (1-44)
[8£“М. Sf°№ll„_1,-0
показывают, что в данном случае мы имеем две различные SUз-алгебры. Таким образом, киральные комбинации векторного и аксиально-векторного токов в кварковой модели по отношению к одновременной коммутации образуют алгебру SU3 X SU3. Соотношения (1.42) — (1.44) иллюстрируют сделанное выше замечание о том, что коммутационные соотношения временных компонент токов зависят только от структуры соответствующих калибровочных преобразований, но не от структуры лагранжиана. В частности, соотношения (1.42) — (1.44) являются точными, несмотря на присутствие в лагранжиане кварковой модели члена — q bmqX%q, нарушающего SC/з-симметрию.
2. о-МОДЕЛИ
Гелл-Манн и Леви [15] предложили интересную модель, описывающую взаимодействие нуклона, пиона и гипотетического скалярного мезона а', который имеет отличное от нуля вакуумное среднее (ст')о- Временные компоненты векторного и аксиально-векторного токов в этой модели удовлетворяют алгебре SU2X SU2, а дивергенция аксиально-векторного тока пропорциональна пионному полю. Мы кратко рассмотрим октетное обобщение этой модели ')• Помимо трех кварковых полей, введем унитарный синглет — скалярный мезон а' (причем (о')0=АфО), октет скалярных мезонов о=(0|,..., ов),
‘) Эта модель была предложена Леви [61; см также работу Гелл-Маииа [16].
30
Глава 1
унитарный синглет — псевдоскалярный мезон я и октет псевдоскалярных мезонов я. Плотность лагранжиана ■)
' Z=- q\-iyada-
- So (/f <у' + }/~у tn-y5 + о Л + /я • ^ q +
+ у + 5ажЗ“я + da0 • дпа + дая • дая] —
- у ц2 [(а')2 + я2 + <т-о + я.я] —
- Я0 [(а')2 + я2 + а- <т + я.я- А2]2 + (1.45)
приводит к ренормируемой теории поля. Векторный ток
= ЯУа у Kq + fktm (ntdajtm + Oidaam) (1.46)
сохраняется, поскольку лагранжиан инвариантен относительно SC/3-группы. Аксиально-векторный ток соответствует калибровочному преобразованию
а' -> а' + v • я,
~ у Vk(t' ~ dklmVlGmt Я—»Jt — \ V ' °> (1-47)
Ok -*■ + j/"y vkn + dklmvpim,
?“>(1 +jVsJ--v)9
и равен
— (c^c/jr,, — odank + д“а*я — okdan) —
~ dkim (daOinm - Oidanm). (1.48)
!) В последующих выражениях а «Я есть кратная запись суммы
R
2 и т- д-
А=1
Основные гипотезы
31
Дивергенция аксиально-векторного тока пропорциональна пионному октету __
(1.49)
' k
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения показать, что временные компоненты векторного и аксиально-векторного токов в этой модели удовлетроряют коммутационным соотношениям (1.42) модели кварков. Указание. Для доказательства того, что мезонные члены в [3£, SJ], [§£, gfj и [g®°, gf°] имеют правильный вид, следует использовать тождества
