Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
7S ~1г-ПТ^ПГ= ©^(-Ъ Р)=П(Р)-
ltIt— ^O (P) T^li т->+0
п
т->+0
Отсюда находим: AQ1 _
V
4ке2
Г dp\ dp2n (pi) п (р2) (22 35
J (2^)6 (Pi —р2)2 ' ' '
Для больцмановского газа такой член мал, так как в него входят числа заполнения Это оправдывает пренебре-
жение ионным обменом.
Теперь рассмотрим остальные члены. В импульсном представлении получаем:
ДЙ2__ _ V — 2
0 ZtlZi2Hi
X {4©n, (P1) К1+т (Pl +- ft) К (P2) (Pa+ *) ^ ее (ft, %)—
— 8Z@; (P1) (P1 + ft) ©^2 (P2) &пг+т (P2+ft) <Ге/ (ft.
+ 4Z2 ©^ (P1) ® Jl+m (P1 +- ft) ©ia (P2) ©Um (P2+ ft) J*« (ft, 0) Jj, § 22J некоторые свойства вырожденной плазмы 261
Ввиду того, что вершинные части $ сами по себе имеют порядок ё1, это выражение формально четвертого порядка по е2. Однако здесь важно то, что в интеграле по k и сумме по т. существенны малые k и т. Сравнивая с формулой (22.9), мы можем написать:
е*
-Tl = -2« I'a (е2) *) К, *)+
О т
+ 2Zfti К„, к) Же (%,. k) Jei (O)in, к) + + z2SL2i («V A) Ju К,- Щ Je2 d (в2) T X
О
1 X2e+ 2Z2Si Же +z^SL21
х2/
к* к2 + 47?2 (SLe + Z2ЖІ)
= Ге2d(e2)Ty Cdk 1 (ЖеЛ-^ЖІЇ
k2 к2+№(Же + г2Жд'
(22.36)
Существенные здесь значения k2 имеют порядок (Же~\~2.2Жд- Нам необходимо определить соотношение между значениями vek, vtk и wm=2rni°:T. Нетрудно видеть, что интеграл по k в (22.36) растет с увеличением 4ъе2 (Же-\~ ?2Жд- Рассмотрим формулу (22.11) для Ж-Если предположить, что vk Т, то наибольшее значение Si (O)m, k) получается при шт = 0. При этом наиболее существенна ионная петля, для которой Ж і--fy и> следо-
е2 N Z2
вательно, ^e2 (Же jT Z2Жд--у—у-• Отсюда следует
T N1 е2 е2 N1 (vfif ~ -J^ у ~ ' T2. Таким образом, наше предположение является оправданным. Мы можем в (22.36) брать
„ ,— . .7п,— Z2 dN і
только слагаемое с m = 0 и положить SC е ~г Ж і ~ ~у~ •
После этого интегрирование по k2 дает:
^2 = _ VH= _ 2J^(Ze)з« . V 3 Wdpl 3 Tk
(22.37) 262
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(гл. IV
При наших предположениях (22.2), (22.3) этот член мал по сравнению с (22.35). Однако это единственный член порядка е3, ибо поправка к члену AQ1 должна быть порядка е4.
Если не накладывать на электронный газ условия сильной вырожденности, то Д22 может стать порядка AQ1. При этом, однако, надо учесть и электронную петлю. Таким образом, получаем:
2 Г dp j dp2 H(Pl)n(P2) V~ ^eJ (2*)« (P1-P2)2
Эта формула пригодна при выполнении условий ГЛАВА V
СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ.ЧАСТИЦ
§ 23. Применение методов теории поля к системе частиц Бозе при абсолютном нуле температур
Обобщение методов квантовой теории поля на случай системы бозе-частиц при температурах ниже температуры «бозе-конденсации» представляет большие трудности. Тем не менее соответствующий формализм разработан (Беляев [39]), и эту главу мы посвятим его изучению. Как всегда, сначала будет рассмотрен случай абсолютного нуля температур.
Повсюду в предыдущем изложении основой построения диаграммной техники служило то обстоятельство, что усреднение произведения нескольких невзаимодействующих ф-операторов можно свести к произведениям попарных средних от операторов Это являлось следствием теоремы Вика, согласно которой среднее от хронологизированного произведения любого числа операторов поля разбивается на сумму произведений попарных и нормальных произведений. Для системы ферми-частиц основное состояние — «вакуум» (мы рассматриваем пока только случай абсолютного нуля температур) — таково, что, изменяя определение операторов рождения и уничтожения, можно было добиться, чтобы среднее от нормальных произведений стало равным нулю. Совершенно иная ситуация имеет место для системы бозе-частиц. По свойствам статистики в бозе-газе при низких температурах в состоянии с импульсом, равным нулю, может быть сосредоточено сколь угодно большое число частиц. В идеальном газе при температуре T= 0 число частиц на нижнем уровне просто равно полному числу частиц в 264 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
системе. Таким образом, характерным для состояния бозе-кон-денсации является то, что плотность числа частиц на основном уровне, с импульсом, равным нулю, стремится к конечному пределу, когда полное число частиц N и объем всей системы стремятся к бесконечности. Поэтому средние от нормального произведения операторов и aQ вида не только не равны нулю, но могут быть сколь угодно велики.
Предположим для начала, что система находится при температуре абсолютного нуля. Как мы только что говорили, в идеальном бозе-газе все частицы находятся на уровне с импульсом, равным нулю. Выделим в операторах
и ф+(л;) в представлении взаимодействия операторы, соответствующие рождению и уничтожению частиц в состоянии с р = 0:
= '!'+(*) = Jo++f+(*) (23.1)
^ниже мы будем использовать обозначения s0 = ,
Jo+ = ^ Vk
Полное число частиц N = VJo-J0 сколь угодно велико при V—»-оо. Поэтому, если в соотношении коммутации
J0Jo" — Jo-J0 = -у-
пренебречь правой частью, операторы J0 и J0" в первом приближении можно рассматривать как числа, что и делалось в гл. II. Мы увидим, однако, что последнее имеет смысл только для сколь угодно слабого взаимодействия.
