Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Из предыдущего (см. (22.22)) следует, что подынтегральное выражение убывает при больших w как си-3, т. е.
') Кроме того, функцию G^ надо заменить на полную Gg-функ-
цию. Однако ввиду того, что величина ? — Др. оказывается малой по сравнению с ?, ее можно заменить на го sign (р — ра), иначе
говоря, оставить Gf\§ 22J некоторые свойства вырожденной плазмы 257
интеграл по ш и J1 является сходящимся. Ввиду этого мы можем проинтегрировать сначала по J1. При этом получаем:
со со
S S= 1 Ї kdk f d* 4™2 4™>(ne + Z'ii,)
А (2KYvJtiakJaia k2 к2+ 4г^» (П, + Z*n,) Х
J — S — (О — Vk
- со 4- Vk L "" ^r
X ] In I f^T^qr^ I -/т: Sign (е + (U) j .
Ввиду того, что вся величина S — Др. дает лишь малую поправку к энергии возбуждений, полюс o-функции будет лежать вблизи Поэтому при нахождении полюса мы можем положить в S — S1 S = J. Это сразу приводит к исчезновению логарифма в фигурной скобке, так как он становится нечетной функцией и), и интеграл по w берется в симметричных пределах. Таким образом, от всего интеграла no J1 остается только обход вокруг полюса. После небольших преобразований, учитывая симметрию IIe и относительно изменения знака си, получаем:
S-S1 = -
V l+vk—t
sign; j* kdk J dci)-(-
(2-)3 V
со
-f I'kdki J do»+ f
0 5-KA-«
4-Е-. >
dw
vk-l+t
X
X k2 k2 + 4xe2 (Пе + Z2П,) ' Полагая є = J и опять используя симметрию П, получаем:
|s| со
S-S= Cda Ckdki^ мы+гт,)
О ш
V
Вычислить это выражение в общем случае довольно затруднительно из-за сложности IIe и И,. Поэтому мы рассмотрим некоторые предельные случаи.258
ТЕОРИЯ ФЁРМИ-ЖИДкОСТЙ
[гл. IV
Из условий (22.2) и (22.3) следует, что мы можем вовсе не рассматривать области |є| — сир1. Как уже отмечено, мы ограничиваемся случаем Т. Если считать Т, то невозможно удовлетворить одновременно условиям (22.2) и (22.3). Ввиду этого мы вычислим выражение (22.29) при |є|^>*г©г. Нетрудно видеть, что в интеграле по ш не будет существенна область W^xiVi. Поскольку
при w^>xivi величина j/"^ *г> т0 интеграл по k
будет браться по области ^ k ¦ ^Ph этом
ионная петля дает меньший вклад, чем электронная.
Рассмотрим область |є|<^хег». При этом в области k ~ у.е ш kv, а в области k <С! Пе не входит в интеграл (22.29) и, следовательно, можно подставить яа
да у.2 ^l + 'l7^kv ^)' где ВТ0Р0Й (мнимый) член значительно
меньше первого. Подставляя это выражение в интеграл (22.29), находим:
Теперь предположим В интеграле будет су-
щественна область k~y-e, ш—vxe. Поэтому верхний предел интеграла по w можно положить равным сю. При этом и действительная и мнимая части S — S1 будут (не считая множителя sign є) константами порядка е2хе:
S — S1 = — е2хе sign є (?j +/?), (22.31)
где ?, и ?2 — действительная и мнимая части интеграла і
J J du\\ — « ^arth « — ' (22.32)
о
(здесь берется значение корня с положительной мнимой частью).§ 22J
некоторые свойства вырожденной плазмы
259
Из уравнения є — ? — S = O находим энергетический спектр и затухание электронных возбуждений в разных областях:
a) »pi <НР)<>
г(р):
,ч_ Jt е2 S ; .
T (Р> — 16 у ^v ' б) ?(/>)»>,
(22.33)
<Р) = S (/О
7 (P) = е\ sign ф2.
2
е т
IH---In
1 Jt р
PojTP Po-P
4. Термодинамические функции. Последнее, что мы рассмотрим,—это термодинамические функции вырожденной плазмы1)- Согласно формуле (10.22), имеем:
Д2 = S-S0 = I y d(e2) f dr d*x> b^rZr'] [<?« (*) (*') X о
X (*') і (X)) - 2Z (? (X) Ф (X') Ф (Xf) (х)> +
-)- Z2 (Ф (х) Ф (х') Ф (х') Ф (х))J. (22.34)
Выражения в скобках (...) можно выразить через функции ©и J*; например:
(ф. (х)фз (X') (х') (х)> = — 2©<0) (X — X') ©<0) (X' — х) +
X4 @i0) (X — X1) ©Г (X'-X2)X
(0),
Член
X ©г (х3-х) ©е — х') (хjX2, XjX4).
(ДГ \ 2
можно отбросить, так как в (22.34) он
сокращается с аналогичными членами от электронно-ионного и ионного взаимодействий вследствие условия электронейтральности плазмы. При расписывании средних от четырех операторов поля, происходящих от электрон-ионного и ион-
') Термодинамические функции вырожденной плазмы были Вычислены А. А. Веденовым [38].260
теория ферми-жидкости
(гл. IV
ионного взаимодействия, не надо писать также член с двумя ©-функциями. Дело в том, что этот член имеет обменное происхождение. Обмен ионов с электронами невозможен, а обмен между ионами дает очень малый эффект, так как ионы образуют больцмановский газ.
Таким образом, получающееся выражение состоит из двух членов. Один из них происходит от произведения двух электронных ©-функций (он соответствует обменной энергии электронов), другой представляет сумму членов с различными а?.
Рассмотрим сначала первый член. В импульсном представлении он равен
f dPidP* 1 у
V - ^J (2r.)« (P1-P2)2 Х
nini
X
— so (Pi) + !* — го (Pi) + Iх
Множители е1*"' учитывают порядок операторов ф в гамильтониане (18.1). Суммирования по Ii1 и п2 независимы. Вспоминая определение фурье-компонент функции ® получаем: