Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
k VrMm. Подставляя выражение для Ui в формулу
P о
для Г12(?, о)), мы получаем:
/^SW (22.16)
к2 (ш'--MW]
Эта функция имеет полюс при
4 я 72P2 N
(22.16)
соответствующем частоте так называемых плазменных колебаний ионов. Это совершенно особый тип колебаний, характерный для плазмы. Частота плазменных колебаний в первом приближении не зависит от импульса. Для получения этой зависимости необходимо взять следующее приближение фор-
V 'k
мулы (22.11) по —. При этом получаем полюс Г при
0)2 = шр1 + 3_ж^2 =3uPit1 + 3^")2]' Wx'>^1- <22-17)
Затухание плазменных колебаний можно получить, если учесть вклад от обхода полюса в преобразованном интеграле (22.11). Оно оказывается экспоненциально малым:
-T = tVl/" . (22.18)
В области k<—-]/Mm электронная петля преобла-Po
дает над ионной. Это положение естественно сохраняется при ueA<CM (ve=^j. Из (22.10) находим:
IT pO Tl 0 1 \u'+kve , btMfl., ,
(22.19)
IU X > 0,
где9(дИо, *<0. 254
теория ферми-жидкости
(гл. IV
В области <gT-i-^-LYMm имеем П.
Л Л
следовательно,
Ane2ZlZ2
Г12(й, (О) =
где -/.е — обратный дебаевский радиус электронов,
х, = /"^.
В области kv находим:
IL
к2т 3ш2
1 +
3 v\k2
Подставляя это в (22.8), получаем:
Ane2ZxZi
ri2(ft, (О) =
k2 < 1
4ке N.
Inai2V
Это выражение имеет полюс в точке
1
3 ViX
где
xj г,
р2
Ane2Ne mV
3
V2 k?
Vek С Ш
1P2-
Pom M
тг2 И-
(22.20)
(22.21)
(22.22)
(22.23)
(22.24)
(22.25)
Полюс соответствует так называемым плазменным колебаниям электронов. Так же как и в случае плазменных колебаний ионов, частота почти не зависит от длины волны. Дисперсия колебаний выражается малой добавкой. Затухание колебаний может быть получено так же, как и в предыдущем случае, если учесть экспоненциально малый вклад от обхода полюса в преобразованном интеграле (22.11). Оно оказывается про-2
>2
порциональным е
WT
. При очень низких температурах это
выражение оказывается неправильным, так как в затухании имеются ббльшие члены, происходящие от следующих приближений по е2.
Z1
Из формулы (22.23) следует, что в пределе — —>0, W-^O1 Г ——оо, Таким образом, на данном примере видно, § 22J некоторые свойства вырожденной плазмы 255
что Гш при кулоновском взаимодействии содержит бесконечную константу.
3. Электронный спектр. Поскольку мы рассматриваем температуры, которые для электронов являются очень низкими, можно поставить вопрос о спектре электронных возбуждений. Как и в предыдущем параграфе, мы ограничимся здесь случаем, когда возбуждения находятся на расстояниях от ферми-поверхности, значительно превышающих Т. Это дает нам возможность ^s. использовать технику при 7=0.
Как известно из § 7, для получения спектра необходимо найти полюсы элек- Рис' 6^
тронной гриновской функции. Запишем Qe в виде Ge = (є — ? -f- Др. — ?) \ где Д[х — возможная поправка к химическому потенциалу. Добавка первого порядка к собственно энергетической части S изображена на рис. 61.
Аналитическое выражение для этой добавки имеет вид
__iufL f dPl [P1-Pl, Pu+P _ \
— (2я)» J (P-P1)* — « \ 2р 1п р0~р Po)'
I Pi I < Po
(22.26)
Виду того, что это выражение не зависит от є, оно представляет собой поправку к энергии квазичастиц. Поскольку граничный импульс Ферми не меняется от взаимодействия и в то же время он связан с химическим потенциалом соотношением S(P0) = Ji1 то выражение S1 при р=р0 надо рассматривать как изменение химического потенциала
^ = (22.27)
Однако выражение (22.26) не вполне корректно. Поправка к скорости возбуждений обращается в бесконечность на ферми-границе. Этот результат связан с тем, что при р->р0 в интеграле (22.26) становятся существенными малые передачи импульса в вершине. При этом необходимо учесть все петли, нанизанные на основной пунктир, 256 теория ферми-жидкости (гл. iv
4ти?2
иначе говоря, заменить на выражение для
Fee(Pi—р, S1 — є), соответствующее (22.8)')•
Нам будет удобнее вычислить не всю величину Е, а разность между Ё и уже вычисленной выше частью E1. Эта разность изображена интегралом (22.26), в котором вместо
Ane2 г, Ane2
стоит I.
(P-P1)2 (P-Px)2'
Сделаем теперь ряд преобразований наподобие тех, которые были применены в предыдущем параграфе. Введем новые переменные: S1--S = U вместо S1, k = \рх—р| вместо
cos (P1P). При этом наш интеграл преобразуется к виду
со p + k со
Z-^=-Wyjfkdk J P^dPi f dwiSiX
О \p-k\ -со
Ane2 (Пе -)- Z2IIj) 1
Х k2 + Ane2 (Пе + Z2IIi) е + СО - 5 (P1) + ib sign (P1-P0)'
В этом интеграле существенны только малые значения k (A2 ^ 4тее2 (IIe-^-Z2II;)). Если мы будем интересоваться значениями р в окрестности р0, то интеграл по рх берется в узкой области вблизи р0. Введем вместо P1 переменную
Z1 = V (рх — р0) ^ниже мы обозначаем v = ve=- . Тогда интеграл для S — S1 может быть записан в виде
СО E+Ilft OO
Z-1I = -W^fkdk J
О Ч—vk —оо
W 47ІЄ2 (Пе -f- Z2IIf)__1_
^ k2 + 4Jte2 (IIe + Z2IIj-) ? + 0)-5,+/8 sign 5, •
