Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим теперь качественно, к чему привел бы учет непосредственного кулоновского взаимодействия электронов. Благодаря экранировке кулоновских сил на расстояниях порядка периода решетки ^т. е. порядка —j их тоже можно
рассматривать в данном случае как короткодействующие. Учет этих сил приведет к изменению скорости на ферми-поверхности и коэффициента а в G-функции вблизи полюса.
Качественное отличие возникнет в величине затухания. Очевидно, затухание от кулоновского взаимодействия будет
иметь порядок -3-Ш-. В области |т)| оно будет
складываться с затуханием (17.29), имеющим ту же структуру и тот же порядок величины, но в области
/ TH
^ wDу -J^ фононное затухание (17.28) становится преобладающим. Как уже отмечалось выше, при |tj| > wD фононное затухание становится константой. Его порядок, очевидно, равен u)d. Кулоновское затухание также присутствует в этой области и начинает доминировать при
hOV >
Отсюда следует, что, в то время как спектр возбуждений в области определяется кулоновским взаимодейст-
вием электронов, фононное затухание некоторое время продолжает доминировать над электронным.
§ 22. Некоторые свойства вырожденной плазмы
1. Постановка задачи. В качестве примера системы с кулоновским взаимодействием мы рассмотрим плазму, т. е. смесь электронного и ионного газов. Гамильтониан взаимо-§ 22J НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 247
действия имеет вид
Hint = т / (r) (r') JF=FT <г,) (г) dr' ~ — Ze2 У (г) Ф+ (r') jjr^-pj Ф С') <|>. (г) dr dr' +
+j^r / ф+ (г) ф+ (г,) т^^тт ф (г° ф (r) dr d'"' {22Л)
где ^otO — оператор электронного поля, а Ф — ионного. Газ электронов мы будем считать вырожденным, а ионный газ — больцмановским. Для этого необходимо, чтобы температура удовлетворяла неравенствам
да.«
При расчетах мы можем условно рассматривать ионы как ферми-газ, так как больцмановский предел для обеих статистик одинаков.
Далее, предположим, что эффект кулоновского взаимодействия является малым. Для этого необходимо, чтобы
P2
где E — некоторая средняя энергия, а г — среднее расстояние между частицами. Для ионов E—Т, а для электро-
- P20
нов E—'-gm - Таким образом, наше условие эквивалентно следующим требованиям:
(22-3)
Нетрудно видеть, что условия (22.3) не противоречат предположению о вырождении электронного газа.
При соблюдении условий (22.3) кулоновское взаимодействие почти всегда будет мало влиять на свойства плазмы. Исключение представляет случай, когда существенны столкновения частиц с малой передачей импульса. Благодаря тому,248 ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV
что фурье-компонента кулоновского потенциала имеет вид1)
U (k) = ^g-, (22.4)
роль столкновений с малыми передачами становится очень существенной.
Прежде всего, следует рассмотреть одну кажущуюся трудность, связанную с кулоновским взаимодействием. Диаграммы для О-функции в § 8 включают диаграммы типа рис. 5, б, содержащие U (0). Аналогичные диаграммы возникают и для температурной ©-функции. Согласно (22.4), такие диаграммы обращаются в бесконечность. Перейдем от заданных химических потенциалов к заданным числам частиц
о Є~аГ
и заменим кулоновский потенциал потенциалом U (г) = е2——.
Величину а мы будем считать малой и в окончательном ответе положим ее равной нулю. Для того чтобы избежать трудностей, возникающих при задании чисел частиц, мы будем проводить рассмотрение в пространстве г, т.
Возьмем, к примеру, электронную линию ©г. Просуммируем все неприводимые собственно энергетические части типа изображенных на рис. 4, а и рис. 8, д, е, которые присоединяются к основной ©-линии одной волнистой линией. Нетрудно видеть, что все эти диаграммы в сумме дадут:
Vir —г', х — х') = 2е2 f dr\®e( 0, —0) —2©,(0. — 0)] X
-а |Г-Г,|
X |f_f|| 8 С -3 (х - =
= Ne-ZNi 4gl8(r_r,)8(x_x/)gB0 (22 5)
в силу условия электронейтральности: Ne = ZNi.
Таким же образом обращаются в нуль аналогичные поправки для ©,-линий. Это означает, что все диаграммы, содержащие интеграл по объему от кулоновского потенциала (нулевая фурье-компонента), следует просто положить равными нулю.
') В этом параграфе мы не пользуемся 4-векторами, и поэтому светлым латинским шрифтом мы будем обозначать абсолютные величины трехмерных векторов.§ 22J НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 249
После этого можно перейти обратно к представлению с заданным р. с помощью следующего формального приема. Представим все ©'"'-функции в диаграммах в виде
($9 = 0^-^-4 (22.6)
Нетрудно убедиться в том, что результирующая ©-функция просто будет изображаться диаграммами с умноженными на один и тот же множитель <Ti-T!'. Разделив на этот множитель, мы переходим к © .
Отсюда видно, что рецепт оперирования с кулоновским потенциалом заключается просто в отбрасывании всех диаграмм с U (0). Тут, однако, необходимо учесть, что получаемые при этом результаты будут правильны только при таком выборе химических потенциалов, когда выполнено условие Ne(\i.e, Jii) = ZNi (;j.e, или, что то же самое,
Ж -Z-S:. (22.7)