Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
возбуждения В окрестности минимума е(р) (при P= P0). Разлагая энергию є по степеням р — р0, получаем '):
г (P) = д + (Р — P0)2- (1.14)
Элементарные возбуждения в этой части энергетического спектра называются «ротонами».
Все термодинамические величины будут слагаться из «фононной» и «ротонной» частей. Для нахождения термодинамического потенциала достаточно подставить (1.1), (1.14) в формулу (см. [1], § 53)
/ IJ--B (P) \
Q = VTj \п{\~е г (1Л5)
При этом надо иметь в виду следующие обстоятельства. Во-первых, число возбуждений не является заданным, а само определяется из условия равновесия — минимума свободной энергии по отношению к изменению числа частиц; это дает:
Qvir=Ix = O. (/> = Q-HxA/). (1.16)
При (j, = 0 потенциал 2 совпадает со свободной энергией F. Во-вторых, ввиду того, что энергия ротонов всегда велика по сравнению с теми температурами, о которых идет речь, бозевское распределение для ротонов может быть заменено распределением Больцмана. Это связано с тем, что в случае Tєрот при вычислении интеграла в (1.15) достаточно
ограничиться первым членом разложения In (і—е_Ер°т/г) по малой величине е~ЕР0Т/г, откуда и следует больцмановская формула
/Ерот
Г aP .
(2я)3
') Численные значения констант, входящих в эту формулу, для He4 равны [6]
Д = 11,4 ¦ 10" сек~1, P0= 1,92 -IO8 см-1, т* = 0,16wHe4. •22
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
С учетом этих замечаний находим:
о-17)
Ф90«3
2т*'^2 Тч'рI
Fp0T V (2г.)"
Отсюда нетрудно получить и все остальные термодинамические величины.
3. Сверхтекучесть. Наиболее интересным свойством бозе-жидкости является свойство «сверхтекучести», т. е. способность протекать по капиллярным трубкам без трения. Л. Д. Ландау [2] показал, что это свойство следует из предложенной им формы спектра возбуждений.
Рассмотрим бозе-жидкость при абсолютном нуле, текущую по капилляру со скоростью v. В системе, связанной с жидкостью, она покоится, а капилляр движется со скоростью — v. Наличие трения между жидкостью и стенкой приведет к тому, что жидкость начнет увлекаться стенками капилляра. Это означает, что у жидкости появляются отличные от нуля импульс и энергия. Это возможно только в том случае, если в ней появятся элементарные возбуждения. При появлении одного такого возбуждения жидкость приобретает импульс р и энергию є (/>). Перейдем обратно в систему координат, связанную с капилляром. Энергия жидкости в этой системе окажется равной
, . Mv2 г+/»» + -§"¦
Таким образом, появление возбуждения меняет энергию жидкости на величину е-|-pv. Для того чтобы такое возбуждение могло появиться, надо, чтобы это изменение было отрицательным, т. е.
S PV < 0.
Эта величина имеет минимальное значение, когда р и v направлены в противоположные стороны. Таким образом, во
всяком случае необходимо, чтобы є— pv < 0, т. е. v>>-~. Наконец, для того чтобы в жидкости вообще могли рождаться § 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 23
возбуждения, надо, чтобы скорость удовлетворяла условию
. (1.18)
\ У 'min
Минимальному значению е/р соответствует точка кривой є (р), в которой
Ъ=Т <1Л9>
т. е. точка, где прямая, проведенная из начала координат, касается кривой t(p).
Таким образом, сверхтекучее течение может осуществляться только в том случае, если скорость жидкости меньше скорости элементарного возбуждения в точках, удовлетворяющих условию (1.19). ^Напомним, что ^ есть скорость элементарного возбуждения.^
Для всякой бозе-жидкости всегда существует, по крайней мере, одна точка, в которой условие (1.19) выполняется. Эта точка — начало координат р = 0. Поскольку при р, близких к нулю, возбуждения движутся со скоростью звука, условие сверхтекучести заведомо нарушается при скоростях течения, превышающих скорость звука и.
В спектре возбуждений жидкого He4 существует еще одна опасная точка. Из вида кривой на рис. 1 ясно, что она лежит правее ротонного минимума. Воспользовавшись (1.14), легко находим, что скорость сверхтекучего течения должна, быть:
или, если учесть численные значения для постоянных (из которых видно, что 2tri* Д),
Po
Окончательно, мы приходим к выводу, что движение в He4 заведомо не будет сверхтекучим при скоростях, превышающих А/р0.
При температурах, отличных от нуля, в бозе-жидкости появляются возбуждения. Нетрудно видеть, что это не меняет. •24
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
приведенного выше рассуждения о возможности появления новых возбуждений при течении. Интересно, однако, понять, какое влияние на движение жидкости оказывают уже имеющиеся в ней возбуждения.
Для этого представим себе, что «газ элементарных возбуждений» движется в жидкости с некоторой макроскопической скоростью v. Функция распределения в этом случае получается из функции распределения покоящегося газа заменой s на г—pv. Импульс газа, отнесенный к единице объема, получается из интеграла
P = fpn{B-pv)^. (1.20)
При малых скоростях и (є—pv) можно разложить по pv. В результате получаем:
