Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
со Kd + ь
lg2 JdwfkdkDik,.) j- JPAAiIhL
о I Po-A I
і (Pi) — F-
Интеграл по Ip1I берется здесь в смысле главного значения. В результате интегрирования по Ip11 и ш получаем:
Ud
S0=-.
mg1
2(2я)»ро
/
kdk
mQ W ш (.k)
In
2po + k 2po — k
(21.18)
Эта величина является чисто вещественной. Введем следующие обозначения:
S0(P)-Ij- = ^(IPl-Po) = S, e — S0
SG, T1) = S„-/ft. T1). В этих обозначениях G имеет вид
0(1 ГІ):
1
4-6 + /(5, ij)
(21.19)
(21.20)
Ввиду того, что S0 вещественно, из формулы (21.19) следует Im S (?, т]) = — Im /(?, т]). Ниже мы увидим, что f(\, 0)=0. Отсюда следует, что мнимая часть G-функции (21.18) обращается в нуль при 7) = s — S0 = O. Таким образом, S0 представляет собой просто добавку к химическому потенциалу.
Вычитая из левой и правой частей уравнения (21.17) S0, получаем уравнение для /(?, у]):
"»g* I' л.« Г Ht Г D (к. <») kdk
(2*)3 Po
fdw / dkf
T) +и — +/(?l, 1) +«) '
— со —V U
(21.21)
Здесь A1 = Hiin(Ai), 2р0). Из уравнения (21.21) следует, что /(?, т]) не зависит от Поэтому мы будем впредь писать просто f (f[). Величина / всегда по порядку величины не превышает ш0, согласно же нашему предположению, т]-—'шд. В интеграле существенна область ш < wD. Поэтому в знаменателе подынтегрального выражения (21.21) все величины, кроме I1, порядка o>D<3^v и можно положить v—>оо, § 21] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ ПРИ T=0 243 Интегрирование по дает:
lim Г_rfS, =
,^Lj' «і — 7I-/(1I +м)
= Ы sign Im [т) +- ш +- / (т) ¦+ ю)] = Ы sign (tj +- ю).
Последнее равенство написано на основании следующих соображений. Как мы увидим ниже, /(O) = O. Следовательно, и Im /(0) = 0. Но это значит, что мнимая часть функции /(7]) меняет знак в точке т) = 0. Согласно общим свойствам функции Грина, при т) > 0 знак / должен быть положительным (см. § 7). Ввиду этого
sign Im / (rj) = sign Yj. (21.22)
Подставляя все это в (21.21), найдем:
ft, со
/(T]) = --^/ kdk JdW Sign (7) -+ ш) D (k, ш) =
fcl Jl
=^Ikdk Id^
о
о
--fI
Здесь использовано то, что D — симметричная функция от ш. Действительная и мнимая части функции / равны
S1 -л
K*f = —?fcf«&(k)kdk f ¦ (21-23)
о
-/-^/¦aW"*fi«?- (21'24>
В случае, если 7]^>u)DT/ , выражение под интегралом в (21.24) можно заменить на и8[ш2— ю2(?)]. Интегри-
2Іи2
руя (21.23) и (21.24) по ш и обозначая опять g2—-
рат 244
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
получаем:
к
r^=-A- /
Im / =
^ Г 4 nl J
2
(А)
In
1] — со (R) I
щ
">о(*>
со(?)
ftrfft • sign Tj,
где A2 определяется ИЗ условия (О (A2) = I Tfj I, если I Tfj I < (Од, И если I Т)| > (Од.
Введем вместо ft новую переменную t = ю ^. Согласно
CO0
нашему определению, ш(2р0) = ш^. Если учесть, что ш0 (&) = M0ft, где м0 — «затравочная» скорость звука, то не-
трудно найти, что U1
aD
и, следовательно1),
Для Re/ мы получаем следующий интеграл: і
где S
bt-Zf
dt In
t + Tj/ft
t — ф
1
V S2 + P ,
(21.25)
C(I-C) • Из (21.25) следует, что при
Re/;? т) In =0т).
а при т] > (O0 Re / убывает по закону Jj-. образом для мнимой части находим:
/V1 —^ =
(21.26) Аналогичным
Y S2 + ^2.
= 1ш' і tx — sin
(21.27)
') Во всей области 0<х<1 функцию h (х) с хорошей точностью можно представить в виде h (х) «г 2 — хг. § 21] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ C ФОНОНАМИ ПРИ T=O 245
где ^ = -5- при |к]|<ш' и Z1=I при 17] I > Шд. При
_">D
toDyr^r <С^<С1 получаем:
Im f = CQ-g) JL. (2128)
I 1 19с2 12/1 Д2
12st0D ?) Ш?>
Эта формула неприменима в случае, когда |tj| Шд • Но в этом случае в знаменателе подынте-
грального выражения в (21.24) можно пренебречь членами с ш. В результате получаем:
Ji
T = Im/ = ^/r< V12-TI hl- (21-29)
о
M Gr)
близки к поверхности Ферми: |т)|<^а)1/ -^=-, становится
Формулы (21.28) и (21.29) соответствуют двум различным механизмам затухания. Первая из них определяет затухание, происходящее от излучения электроном фононов. Однако в том случае, когда энергии квазичастиц очень
V2M
существенным взаимодействие электронов благодаря обмену фононами, которое обеспечивает затухание (21.29). Из того, что говорилось раньше (§§ 2 и 7), нетрудно увидеть, что затухание, возникающее от взаимодействия ферми-частиц, должно иметь именно такую форму.
Энергию электронных возбуждений можно определить из действительной части полюса функции G. Подставив (21.26) в (21.20), находим:
T1 + Re/(T1) = ?. (21.30)
В случае малых т] с помощью (21.26) получаем:
71 = Tfft (И-'<>)• (21-31)
Таким образом, скорость квазичастиц на поверхности Ферми уменьшается (последнее следует из того, что согласно (21.26) b > 0). Кроме того, вблизи полюса G-функция приобретает вид (18.1), где а = (1 -\-b)~x < 1. Из формулы 246
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
(21.28) следует, что затухание квазичастиц сравнивается с их энергией при т)—ш0. Однако нетрудно видеть (см. (21.27)), что при дальнейшем росте энергии возбуждений затухание перестает расти и становится опять меньше энергии квазичастиц. Таким образом, имеются две области, в которых понятие квазичастиц имеет смысл: и В обеих областях энергия электронов имеет вид v(\p \ — р0), но скорости V являются различными.
