Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
mD
Подозрительным в этом смысле является только случай малых передач k<^p0 и В этом случае полюсы
двух О-функций в интеграле для Г(1> сближаются. Легко убедиться в том, что интегрирование будет происходить по области импульсов вблизи Ip11 = р0 и энергий вблизи S1 = 0. В этом случае G(0) можно заменить на
O^ —_\_ (01
?-»(|p|-p0) + rt8ign(|p|-p0) ' К
где V = Положение здесь очень напоминает рассмотренное в § 18; однако здесь имеется некоторое существенное отличие. Как мы знаем из § 18, произведение двух О-функций имеет резкий максимум вблизи Ip1I=P0 и S1 = O и поэтому может быть заменено на (s) 8(I^o11—р0), где А — константа. Интеграл от произведения двух G-функ- § 21] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ C ФОНОНАМИ ПРИ T=O 239
ций (21.5) по s = v(\p\ —р0) и 8, взятый в бесконечных пределах (он определяет константу А, см. § 18), формально расходится, а потому существенно зависит от порядка интегрирования. В § 18 мы брали сначала интеграл по е, а уже затем по t Это было связано с тем, что интеграл по е действительно берется в бесконечных пределах, а интегрирование по Е, по сути дела, ограничено пределами |f| < ja. В данном случае присутствие D-функции в интеграле делает его, согласно (21.1), сходящимся. Ввиду этого порядок интегрирования произволен, и нам будет удобнее сначала интегрировать по ^1,-а затем по S1. В результате интегрирования получается:
/
dQ
їм р0т > — kv (2-)3
Эта величина не является малой только в случае w^vk. Как мы увидим ниже, этот случай не представляет интереса для дальнейшего.
Учет диаграмм для Г более высокого порядка не меняет произведенной оценки. Таким образом,
(21.6)
2. Гриновская функция фононов. Теперь рассмотрим фононную гриновскую функцию. Уравнение Дайсона дается формулой (10-9). Прежде всего, необходимо вычислить интеграл
П 0.0,) = -2lg* J 0(р + -§-)о(/>--§-)-Ц-. (21.7)
Как будет видно в дальнейшем, G(p, є) существенно отличается от О<0) лишь в узкой области j|/>|—р0
|e|~a>0, а в интеграле (21.7) существенна гораздо более широкая область. Ввиду этого мы можем с точностью до
членов порядка заменить в (21.7) функцию О на G^
Нас интересует случай, когда <o ~ <o (k) ^ wD vk. При этом k, вообще говоря, не всегда мало по сравнению с р0, а потому мы не можем пользоваться формулой 240 ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV
(21.5). Производя интегрирование в (21.7), находим-
n^--[* Ш+'<"•'¦-•» ] ¦¦ Pl-8)
. , ч , . I-Xi, Il-Ml Д , V ' / 1, Jf > 0, где A (je) = 1 -1 2J— In [ J^-J I, A(Jf) = J0i ^0i
Подставляя П в уравнение Дайсона для функции D, находим:
D 1 (А, w) = Do1 — n =
1
«>о(А)
- 0,2 (Л) [ 1 - CA (-А.) - 0 (2^0 - A)] } (21.9)
(вместо g2 введена константа С = g2pQm[2Tz2—1). Полюс функции D определяет истинную энергию фононов и их затухание:
ш(А)=Шо(А) 1 -CA(-А-), (21.10)
7t Cco0 (А) /И
Ti (*) = у 6 (2^o-^)- (21.11)
Согласно (21.10) при А <О>0 «о (А) « ш0 (A)K 1 —2 С. лизи А = особенность
Вблизи A = 2^0 производная -jjp- имеет логарифмическую
dk 1 — С 4 P0 I 2 /70 — k I 4
связанную с исчезновением затухания при А>2/?0.
Из формул (21.11) и (21.10) видно, что в том случае, если С не слишком близко к 1I2, затухание Yi (к) является относительно слабым. Действительно,
7! (А) л Cco2 (А) т п и 1
І__-./^(1-20-
2 4 V 1 — 2С J/ M
<о (А) 2 Poftto (А)
(21.13)
Гриновскую функцию D (А, о,) можно записать в виде, аналогичном (21.3):
nib \ — _!__і \
— 2 u)(ft) У СО - (О (A) -j- /Т, (0)) (0 + CO(A) — I-Yl (®)J •
(21.14) § 21] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ C ФОНОНАМИ ПРИ T=O 241
(Vm <0л (ft)
где T1 И = I «О I B(2p0-ft). Отсюда видно,
что функция D отличается от D(0) изменением частоты и постоянным множителем.
3. Гриновская функция электронов. Теперь перейдем к гриновской функции электрона. Из уравнения Дайсона (10.4) мы находим:
G =-T^-V7-г—, (21.15)
E — ^o (P) + и- — ? (Р> О
где 2(р, є) удовлетворяет уравнению
V/ ч • 2 С Р(Р-Р|. l) dPlds 1 ,01 2(p.*) = ig*J I1-е0 (P1)+ H-2 (p.. «,) (?)' • (21Л6)
Из (21.16) следует, что S имеет порядок o)?. Это значит, что Q отличается от G(0) только при |е — S0(P)+"!xI Таким образом, спектр электронных возбуждений меняется лишь при е0(р) —ц«г;(|р|—р0)~юо.
В формуле (21.16) удобно перейти к интегрированию по новым переменным: ш = S1 — є, k = Ip1 —р |. Таким образом, получаем:
СО \p\±k
е)==ШТГ\ /аш f kdh I
-OO O llp'|-»l
у_D <*¦ ")_. (21 17)
Импульс I перед интегралом можно положить равным р0.
Интегрирование по Ip1I разобьем на две области. В первой области I J11 = I г;(|pj | — р0) | < v, во второй | J1 | > v, где (od<Cv<Cia. В интеграле по первой области можно заменить S0(P1) — JJ. на v(\px\—р0), а во всех остальных местах положить Ip1I = P0.
При интегрировании по второй области надо учесть, что D
убывает как -Jj- при и> wD. Поэтому в знаменателе подынтегрального выражения величины е и S будут малы по 242
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
сравнению с E0 (P1) — [а. Отсюда следует, что интеграл по этой области дает вклад в S(p, є), не зависящий от р и е. Эту константу мы обозначим через S0. Таким образом,
