Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ATza2pI 1п
гг(), u .-V' (20Л0)
C1 cI
X
где с- — константа. Таким образом, при л:-»- со, ft(x) -> In y-jr2.
Аналогичным образом из уравнения (20.4) при Х->0 получаем:
г го ls|)--^t,(2/ + 1) __і_ (2011)
M0-IsIj- W^20 inuiU ( U
Таким образом, при лг-»0, /, (х) ->¦ In , ¦
(4) *
Константы с\ и C12 имеют размерность энергии и могут быть комплексными. Если, например, константа C11 имеет порядок фермиевской энергии, то из выражения (20.10) следует, что при X-»0 Гг(\, 0) обращается в нуль по закону
1/1п-^-. Однако возможен особый случай, когда эта константа является малой. Тогда Гг(А, 0) имеет полюс при ка-ком-то значении X (вообще говоря, комплексном) Смысл этого обстоятельства, тесно связанного с явлением сверхпроводимости, будет выяснен в гл. VII. 236
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
Исследованием Г в случае малого суммарного импульса сталкивающихся частиц мы закапчиваем микроскопическое рассмотрение изотропной ферми-жидкости.
В настоящее время известна только одна изотропная ферми-жидкость — жидкий Не3. Класс анизотропных ферми-жидкостей значительно шире — это электроны в металлах. Однако, помимо анизотропии, у электронной жидкости в металлах имеются такие специфические особенности, как дально-действующие кулоновские силы, взаимодействие с колебаниями решетки и др. Некоторые из этих особенностей будут рассмотрены в двух следующих параграфах на примерах изотропной модели электронов, взаимодействующих с фононами, и вырожденной плазмы.
Общее рассмотрение электронной ферми-жидкости в металлах, несомненно., принадлежит к числу важнейших задач, которые должны быть решены с помощью методов квантовой теории поля. В частности, здесь надлежит произвести более углубленное исследование явления сверхпроводимости, которое пока было изучено только на примере простейшей модели (см. гл. VII).
§ 21. Взаимодействие электронов с фононами при T = O1)
В этом параграфе на примере изотропной модели будет рассмотрено взаимодействие электронов с фононами в металле. При этом мы будем предполагать, что металл не является сверхпроводником. Такое предположение, строго говоря, лишает эту модель физического смысла. Как будет показано в гл. VII, в модели, где взаимодействие электронов обусловлено только обменом фононами, при T=Q обязательно имеется сверхпроводимость. Однако условие T= О не следует понимать слишком буквально. По сути дела, речь идет о температурах, заметно более низких, чем температура вырождения электронов и дебаевская температура фононов. Если характер электронно-фононного взаимодействия таков, что температура сверхпроводящего перехода заметно ниже
') Результаты, изложенные в этом параграфе, были получены А. Б. Мигдалом [36J. § 21] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ C ФОНОНАМИ ПРИ T=O 237
дебаевской температуры, то рассматриваемая модель не является внутренне противоречивой.
Конечно, эта модель значительно отличается от реального металла. Это связано с тем, что реальный металл анизотропен, и, кроме того, между электронами имеется кулоновское взаимодействие, которое тоже имеет существенное значение. Ввиду этого мы в дальнейшем отметим те качественные изменения, которые происходят от кулоновского взаимодействия электронов.
1. Вершинная часть. Уравнения Дайсона для электронов и фононов уже были получены нами в числе примеров в § 10. Рассмотрим в первую очередь треххвостую вершинную часть Г, входящую в эти уравнения. Покажем, что эта величина отличается от своего нулевого значения, равного g,
/т
-д-р где т — масса электрона, a Af— масса ядра. Вычислим поправку первого порядка к Г, изображенную на рис. 31, а. При этом будем считать, что импульсы электронов порядка р0, энергия е порядка <~ P0V, а импульс и энергия фонона таковы, что шс<а) (ft) I! к )=2а es w'd — wD (так как kD — р0). Именно такие значения энергий и импульсов будут для нас наиболее существенны в дальнейшем.
Согласно § 9, диаграмма на рис. 31, а равна
г"(р+І, Р-І-, я) =
= igz f D^ip-(21.1)
д = (к. (0)1),
где, согласно § 7, D(0) и G(0> определяются формулами
Gm(Р, є) = ?_?о{р) + .Д sign (,р і_ро) • (21-2)
2 2 , S P PO
riesO^ = -S' Р =
') В этом параграфе 4-импульс фононов мы будем обозначать буквой q = (ft, а). Просто буквой k мы обозначим |ft|. 238
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
Мы будем полагать, что фононный спектр ограничен, т. е. k < kD — р0. При больших импульсах D(0) обращается в нуль. Физически это ограничение означает отсутствие колебаний с длиной волны, меньшей межатомных расстояний.
Функция D(0), стоящая в интеграле (21.1) при |р—P1I— P0 и є — S1-^wd может быть заменена константой D(0)a—1. В области є — S1 CDd функция D(0) убывает по закону (є — S1)-2, Это дает возможность оценить интеграл для Г(1)
¦л(').
/ Лі / S1+1) X
IP-Pi к b?
ХО(0)(рх--|-' B1--J-)^. (21.4)
Ібіс4
IS1-EKM0 IP-PI К kD
-,Г т
Интегрирование по S1 дает множитель wD-— ир0 — ц у
(,и — скорость звука). В результате Г(1) оказывается порядка (см. § 9)
(С— 1), если только интегрирование по р не вносит множителей порядка .
