Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 66

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 129 >> Следующая


S/(?)

дг

d'~ = —/(0)-

\m

232

ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ

(ГЛ. IV

§ 20. Особенности вершинной части в случае малого суммарного импульса сталкивающихся частиц ')

Кроме особенности при малых передачах энергии и импульса, вершинная часть имеет еще одну особенность, представляющую, как будет видно из дальнейшего (гл. VII), интерес для теории сверхпроводимости. Рассмотрим случай, когда сумма P1 Pi является малой, причем малы энергии S1 и s2 и сумма импульсов р, • //, s.

Рассмотрим диаграммы на рис. 57. Нетрудно видеть, что в данном случае особой диаграммой будет 57, а. Именно в этой диаграмме полюсы обеих О-функций под интегралом сближаются.

Мы поступим с этой вершинной частью аналогично § 18. Введем обозначение

rV f, (Pi. P3-s) = г*?,-,S (Pv — Pi + s; P3- -P3+S).

Далее, обозначим через Г'2' сумму всех «неособенных» диаграмм. В Г(2) мы можем положить s = 0. Для получения полной Г надо просуммировать «лестничные» диаграммы типа рис. 58. Прежде чем это сделать, продифференцируем Г по четвертой компоненте s, которую мы обозначим через А. Каждая лестничная диаграмма даст при этом сумму членов, в каждом из которых дифференцируется одна из «ступенек». Если зафиксировать дифференцируемую ступеньку, то легко видеть, что все диаграммы разделяются на две независимые лестницы слева и справа, причем сумма таких лестниц с каждой стороны есть полная вершинная часть. Таким образом, получаем уравнение

^IVfS(Pi-ZV-*) = у / (Л.0(^)-^0(-<7+s)X

(20л)

') Этот параграф основывается на неопубликованных результатах А. А Абрикосова, Л. П. Горькова, Л. Д. Ландау и И. М. Xa-латникова. § 20]

МАЛЫЙ СУММАРНЫЙ ИМПУЛЬС

233

Стоящее под интегралом выражение u(q)-^-G(—q -j- s) вблизи г = 0, \q\ = P0 имеет вид

,7 2

X

[' — V ( I q 1 — ро) + 'S sign (І Ч I — Po)]

Х le-X+u (Ie--S I -a sign (|tf-s|-p0)]2 " (20'2)

d^q p\d \ q\dilds. Отсюда ясно, что интеграл по ,9 .4 —>-tsz«- берется

(ZU) (2'l)

в основном по окрестности \q\ = рй, є = 0. Если предположить, что Г в интеграле не являются быстропеременными в этой области, то при интегрировании no d \ q\ и de можно считать эти Г константами и интегрировать только выражение (20.2). В результате получаем:

0 2 і

а" р7г і I

-2г- • ' '• V "//V s)p=WTSrfQ.(20.3)

Теперь возьмем градиент Г по s. При дифференцировании второй из G-функций не надо забывать, что vs не только входит непосредственно в знаменатель, но, кроме того, определяет знак мнимой части. Ввиду этого вблизи е = 0, \q\= pQ

выражение Q(q)-^G(—?'-)-5) имеет вид

„2т

X

— V ( \ q I — Po) + 'S sign (I q \ — p0)]

_і___

^ — A. + V (I q I — Po) — vs — ib sign {^\q\—pa — -^-)]2

2 ті/а25 (г — l) Ъ (vs — v(\q | — p0)) v ' /. — vs -f- і о sign (vs)

Интеграл no dsd \ q\ от этого выражения приводит к следующему соотношению для Г:

^1V f (Pv Pi. s)=- ^mkr j 1VЬ, (Pi- 1'- s^ X

X „ O7, Ру S) (20.4) 234

ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ

(ГЛ. IV

Комбинируя уравнения (20.3) и (20.4), получаем:

1V TS (Л - /?: *)+* J^ 1V т« (A- Pz> S)=

aVo Г

= T<W4rJ (20.5)

Если не рассматривать магнитных взаимодействий, то силы между частицами зависят только от взаимной ориентации спинов. Если при этом учесть, что при взаимодействии частиц сохраняется полный спин, то уравнение (20.5) разделится на два независимых. Одно из них отвечает взаимодействию двух частиц с противоположными спинами ^т. е.,

например, a = =--g-^. а другое — взаимодействию частиц с параллельными спинами. Эти уравнения будут совершенно одинаковыми. Разница происходит от начальных условий (т. е. от Г(2)). Ввиду этого мы будем дальше всюду писать просто Г, подразумевая под этим какую-нибудь из двух различных компонент.

Сделаем предположение, оправдывающееся в дальнейшем,

что Г(/?Р р3; S) не зависит от углов (pv s) и (/?3, s). Тогда эта величина может быть разложена по полиномам Лежандра, зависящим от cos 6, где 0—угол между рх и р3:

Г (Pi. P2,-, s) = S Y1P1 (cos 0). ^0,6)

Заметим, что TaP^11 (P1, />3; s) для противоположных спинов антисимметрична по спинам, а для параллельных — симметрична. Перестановка импульсов начальных частиц соответствует замене cos 0 на — cos 9. Ввиду того, что (рх, р2; р3, /?4)

должна быть антисимметричной относительно перестановки Р<$, в разложении (20.6) для параллельных спинов участвуют лишь нечетные гармоники, а для антипараллельных — только четные.

Уравнения (20.5) для отдельных Гг разделяются и приобретают вид

dr, <5Г, 4тIO2D2n Г? § 20] МАЛЫЙ СУММАРНЫЙ ИМПУЛЬС 235

(взятие суммы по спинам в (20.5) приводит к появлению множителя 2).

Решение уравнения (20.7) равно

rl(X, |e|) = _ALf!±iI--L__. (20.8)

2^o inX|s 1+/,(^)'

где fl — произвольная функция.

Уравнения (20.3) и (20.4) дают возможность получить предельные выражения для ft(x) при i->0 и х —>• со. Посмотрим уравнение (20.3) в пределе |s|—>0. Разложив Г по сферическим гармоникам, находим:

dT. 4 Tta2 pi ,

^=WWiFrl (20;9)

Решением этого уравнения является:

(2К)3е(2/ + 1) _1

Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed