Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем исходить из выражения (16.12) для полного числа частиц в системе как функции [а и т:
Nill, Т)
-T^-27S / (19Л7)
є t-»+0
Знание этой функции дает возможность определить энтропию с помощью термодинамического соотношения
Рассмотрим ©-функцию, стоящую в формуле для N. Если учесть, что это — полная ©-функция, получающаяся в результате сложения всевозможных диаграмм, содержащих суммы по частотам, то становится ясным, что © (є, р) зависит от температуры не только через дискретную переменную є = it7'(2«+1). Поэтому мы будем обозначать ее здесь как ©(Г; S, р). Как известно из гл. III, функция © связана с собственно энергетической частью ? соотношением
©-'(7; е. р) = @(0Ь1(е, р) — ?(Г; в, р). (19.19)
Отметим, что функция ©(0) (є, р) зависит от температуры только посредством в. Пусть теперь 7"—>0, но при этом s=Const. Тогда соотношение (19.19) приобретает вид
©-1 (0; s, р) = ©(0Ь1 (е, р) — ? (0; s, р). (19.20)228
теория фермИ-жидкости
(ГЛ. IV
Из соотношений (19.19) и (19.20) находим:
©-'(Г; s, р) = S-1CO; є,/>)-[S(7; е. р)-2(0; е, р)]. (19.21)
Величина 2(0; є, р) отличается от S (Г; s, р) тем, что в ней все суммы по частотам заменены интегралами, согласно формуле
Разность S (T)— S(O) при низких температурах можно найти следующим образом. Рассмотрим две одинаковые диаграммы для S(7) и 2(0), скажем, S1(T) и S1(O). При вычислении разности S1(T) — S1(O) в первом приближении будут существенны такие области частот, в которых какая-то одна из ©-линий имеет частоту порядка 7, а все остальные имеют гораздо большие частоты. Случай, когда две частоты являются малыми, имеет малый статистический вес и приводит к членам более высокого порядка. Ввиду этого можно выделить ©-линию с малой частотой, а во всех остальных местах суммы заменить интегралами. В таком особом положении может находиться каждая из ©-линий, входящих в диаграмму S1.
Таким образом, нам необходимо проварьировать диаграмму S1 по всем входящим в нее линиям ©. Вычисление здесь совершенно аналогично тому, что было проделано в предыдущем параграфе.
Применяя эту процедуру ко всем диаграммам, составляющим S, получаем:
2(7"; е, р) — 2(0; е. р)«
7S-^/d^\fm3^(0:^^.9)^(0^,17).
(19.22)
Отсюда, согласно (19.21), получаем первое приближение для © (T):
© (Г; е, р) = © (0; в, р) + J ®2(0; е, р) X
X [ тS - І I'd^] J W<7*«р<0; В'Р' ^ Я® <0= eI'§ 19]
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
229
Подставим это выражение в (19.17) и вычтем отсюда -р- TV 0). ОЧ'Л и шо, что с точностью до членов первого порядка мы можем написать:
[Nip, T)- N^, 0)] = 2
2?: ./
0(0; е. P) +
'2-і/*.
X J Wy «? є" Ф ® =
0; 3, p)X
X
V
x[i +1-/-І-S1, 9)(a2(0; ^1, <7)
(19.23)
В последнем равенстве использовано свойство симметрии
JVc1,^ Pi 3I' 9) =J*?. a? (sV Ч. S- />)¦
Это выражение можно несколько преобразовать. Совершенно аналогично тому, как была выведена формула (19.4), мы можем получить соответствующую формулу в температурной технике: (Т\ е, р) _ d[j. ~~
= 1 +1" rS / ^ P-. Ч)®\Т- S1,
El
В пределе 7-ч*0 при е — const получаем: д
д<х
<5Г' (0; г, р):
1 + if W f W -f(0; ?' р'q) ®2 (0; ^230
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
Подставляя в (19.23), имеем: -Jhn (I*. Т) — TV ([А, 0)1 =
=2 [:rS - І / I (Sr ® (0; в, р) ®-Чо: в, P)=
Дифференцируя это соотношением по температуре при |x = const и сравнивая с (19.18), находим:
17:
дТ
. (19.24)
Дальнейшие вычисления мы можем провести следующим образом. Пользуясь связью температурной функции ® с запаздывающей и опережающей функциями Грина, запишем выражение (19.24) для энтропии в виде суммы двух контурных интегралов
V 1
Ul
/ f dp
" IJ "щіг
4 ш J С,
th ^f In Or (є, +
+ U thIn Gi4 (є. p) de
Г dp 1 Г Г / дл (е) \
= 2 J W 2ЙТ ./sI--5T-J 1п /»)+
Lc1
+ f 1а°А<?- P)d*
где Я/? — функция Ферми, а контуры C1 и C2 изображены на рис. 59, а. Функция Or не имеет нулей в верхней полуплоскости, a Ga — в нижней *). Пользуясь этим свойством, а также аналитичностью Gr и Ga в соответствующих полу-
дпр
плоскостях и быстрым убыванием ^e при є—> ± оо, можно
') См. сноску на стр. 226.§ 19] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
231
развернуть контуры C1 и C2 вдоль действительной оси (см. рис. 59, б). При этом получаем:
V
СО
Г dp 1 Г / дпсил\
= 2 J WP ШІ е (—ж2-) f,n 0^-' 0^
Применяя обычное правило взятия интегралов с фермиев-ской функцией1, находим:
S
T
2 л2 T
1 Г dp Г ,
bdj W L '
SGr
оґ
/
dp
2и2Т 1
2Ї J (2я)3
2 Im
H--N1^L-
Последнее равенство связано с тем обстоятельством, что на
действительной оси Gr=Ga- Нетрудно видеть, что интеграл по р берется вблизи поверхности Ферми. Подставляя G
R '
получаем:
S _PssTtCe
V ~~
? — ? + ІЬ '
Т. (19.25)
JJ
Рис. 59.
Очевидно, что теплоемкость равна энтропии.
Отметим, что при вычислении температурной поправки для нас была существенна только окрестность точки є = 0, \ = 0, т. е. действительные полюсы функции Gr (или G) при 7=0. Это положение, по-видимому, является общим для любых температурных добавок. А именно, в первом приближении температурные добавки всегда должны определяться полюсами функции G (или Г) при T= 0, иными словами, они определяются спектром элементарных возбуждений.