Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 65

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 129 >> Следующая


Мы будем исходить из выражения (16.12) для полного числа частиц в системе как функции [а и т:

Nill, Т)

-T^-27S / (19Л7)

є t-»+0

Знание этой функции дает возможность определить энтропию с помощью термодинамического соотношения

Рассмотрим ©-функцию, стоящую в формуле для N. Если учесть, что это — полная ©-функция, получающаяся в результате сложения всевозможных диаграмм, содержащих суммы по частотам, то становится ясным, что © (є, р) зависит от температуры не только через дискретную переменную є = it7'(2«+1). Поэтому мы будем обозначать ее здесь как ©(Г; S, р). Как известно из гл. III, функция © связана с собственно энергетической частью ? соотношением

©-'(7; е. р) = @(0Ь1(е, р) — ?(Г; в, р). (19.19)

Отметим, что функция ©(0) (є, р) зависит от температуры только посредством в. Пусть теперь 7"—>0, но при этом s=Const. Тогда соотношение (19.19) приобретает вид

©-1 (0; s, р) = ©(0Ь1 (е, р) — ? (0; s, р). (19.20) 228

теория фермИ-жидкости

(ГЛ. IV

Из соотношений (19.19) и (19.20) находим:

©-'(Г; s, р) = S-1CO; є,/>)-[S(7; е. р)-2(0; е, р)]. (19.21)

Величина 2(0; є, р) отличается от S (Г; s, р) тем, что в ней все суммы по частотам заменены интегралами, согласно формуле



Разность S (T)— S(O) при низких температурах можно найти следующим образом. Рассмотрим две одинаковые диаграммы для S(7) и 2(0), скажем, S1(T) и S1(O). При вычислении разности S1(T) — S1(O) в первом приближении будут существенны такие области частот, в которых какая-то одна из ©-линий имеет частоту порядка 7, а все остальные имеют гораздо большие частоты. Случай, когда две частоты являются малыми, имеет малый статистический вес и приводит к членам более высокого порядка. Ввиду этого можно выделить ©-линию с малой частотой, а во всех остальных местах суммы заменить интегралами. В таком особом положении может находиться каждая из ©-линий, входящих в диаграмму S1.

Таким образом, нам необходимо проварьировать диаграмму S1 по всем входящим в нее линиям ©. Вычисление здесь совершенно аналогично тому, что было проделано в предыдущем параграфе.

Применяя эту процедуру ко всем диаграммам, составляющим S, получаем:

2(7"; е, р) — 2(0; е. р)«

7S-^/d^\fm3^(0:^^.9)^(0^,17).

(19.22)

Отсюда, согласно (19.21), получаем первое приближение для © (T):

© (Г; е, р) = © (0; в, р) + J ®2(0; е, р) X

X [ тS - І I'd^] J W<7*«р<0; В'Р' ^ Я® <0= eI' § 19]

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА

229

Подставим это выражение в (19.17) и вычтем отсюда -р- TV 0). ОЧ'Л и шо, что с точностью до членов первого порядка мы можем написать:

[Nip, T)- N^, 0)] = 2

2?: ./

0(0; е. P) +



'2-і/*.

X J Wy «? є" Ф ® =

0; 3, p)X

X

V

x[i +1-/-І-S1, 9)(a2(0; ^1, <7)

(19.23)

В последнем равенстве использовано свойство симметрии

JVc1,^ Pi 3I' 9) =J*?. a? (sV Ч. S- />)¦

Это выражение можно несколько преобразовать. Совершенно аналогично тому, как была выведена формула (19.4), мы можем получить соответствующую формулу в температурной технике: (Т\ е, р) _ d[j. ~~

= 1 +1" rS / ^ P-. Ч)®\Т- S1,

El

В пределе 7-ч*0 при е — const получаем: д

д<х

<5Г' (0; г, р):

1 + if W f W -f(0; ?' р'q) ®2 (0; ^ 230

ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ

(ГЛ. IV

Подставляя в (19.23), имеем: -Jhn (I*. Т) — TV ([А, 0)1 =

=2 [:rS - І / I (Sr ® (0; в, р) ®-Чо: в, P)=

Дифференцируя это соотношением по температуре при |x = const и сравнивая с (19.18), находим:

17:

дТ



. (19.24)

Дальнейшие вычисления мы можем провести следующим образом. Пользуясь связью температурной функции ® с запаздывающей и опережающей функциями Грина, запишем выражение (19.24) для энтропии в виде суммы двух контурных интегралов

V 1

Ul

/ f dp

" IJ "щіг

4 ш J С,

th ^f In Or (є, +

+ U thIn Gi4 (є. p) de

Г dp 1 Г Г / дл (е) \

= 2 J W 2ЙТ ./sI--5T-J 1п /»)+

Lc1

+ f 1а°А<?- P)d*

где Я/? — функция Ферми, а контуры C1 и C2 изображены на рис. 59, а. Функция Or не имеет нулей в верхней полуплоскости, a Ga — в нижней *). Пользуясь этим свойством, а также аналитичностью Gr и Ga в соответствующих полу-

дпр

плоскостях и быстрым убыванием ^e при є—> ± оо, можно

') См. сноску на стр. 226. § 19] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА

231

развернуть контуры C1 и C2 вдоль действительной оси (см. рис. 59, б). При этом получаем:

V

СО

Г dp 1 Г / дпсил\

= 2 J WP ШІ е (—ж2-) f,n 0^-' 0^

Применяя обычное правило взятия интегралов с фермиев-ской функцией1, находим:

S

T

2 л2 T

1 Г dp Г ,

bdj W L '

SGr

оґ

/

dp

2и2Т 1

2Ї J (2я)3

2 Im

H--N1^L-

Последнее равенство связано с тем обстоятельством, что на

действительной оси Gr=Ga- Нетрудно видеть, что интеграл по р берется вблизи поверхности Ферми. Подставляя G

R '

получаем:

S _PssTtCe

V ~~

? — ? + ІЬ '

Т. (19.25)



JJ

Рис. 59.

Очевидно, что теплоемкость равна энтропии.

Отметим, что при вычислении температурной поправки для нас была существенна только окрестность точки є = 0, \ = 0, т. е. действительные полюсы функции Gr (или G) при 7=0. Это положение, по-видимому, является общим для любых температурных добавок. А именно, в первом приближении температурные добавки всегда должны определяться полюсами функции G (или Г) при T= 0, иными словами, они определяются спектром элементарных возбуждений.
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed