Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') В этом разделе использованы результаты работ Люттингера и Уорда [35а]. 224
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
Запишем формулу (7.37) для плотности в следующем виде:
¦F = 2iIHln (*> -Щг ' <19Л2>
где t—>-j-0, a S — полная неприводимая собственно энергетическая часть (о = (е— ?— 2)-1). Покажем, что интеграл от второго члена в квадратной скобке обращается в нуль. Для этого, прежде всего, продемонстрируем, что S (р) можно рассматривать как вариационную производную по О(р) от некоторого функционала относительно О, т. е.
bX=f^(p)bQ(p)-^r. (19.13)
Вычислим вариационную производную ^y-, для чего
рассмотрим диаграммы, составляющие S1 и в каждой диаграмме последовательно проварьируем все G-линии. Возьмем, например, собственно энергетическую часть на рис. 10, в. Если в ней последовательно выделить каждую из трех G-ли-ний и каждый раз обозначать частоту и импульс, соответствующие этой G-линии, через е , q, то нетрудно видеть, что результат будет равен произведению этой О-функции на сумму двух диаграмм, которые представляют собой просто второе приближение к вершинной части Т(р, q) с нулевой передачей энергии-импульса. Применяя эту процедуру ко всем диаграммам, составляющим S, получаем:
SS (P) = -Y / Г „р, .р (л Я) 80 (q) -Цг.
Отсюда следует:
IHt = -T1W^)- <19Л4>
Эта величина симметрична относительно перестановки pT^q, что, как известно, является достаточным условием существования функционала X.
Функционал X может быть представлен в виде совокупности диаграмм, включающих только полные G-линии. Из формулы (19.13) видно, что эти диаграммы получаются из диаграмм для S (скелетные диаграммы с полными G-линиями), если каждую диаграмму «замкнуть» полной О-линией. Для § 19] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
225
того чтобы формула (19.13) получалась с правильной нормировкой, надо ввести численный коэффициент, зависящий от типа диаграммы (например, если имеется взаимодействие
только одного типа, коэффициент равен , где п — число
вершин).
Диаграммы, составляющие X, не меняются, если все частоты в G-линиях сдвинуть на малую величину 8є(0), так как пределы интегрирования по частотам суть (— оо, -(- оо), а 8-функции, стоящие в вершинах, содержат одинаковое количество Si со знаком «плюс» и со знаком «минус». Отсюда получаем:
_ f Vr^da(P) d4P -п
SE(0) ~~ J " КР) дг (2л)4 _ U-
Вернемся к выражению (19.12). Интеграл от второго члена в квадратной скобке можно записать в виде
= -2,/о<„ЭД + ^r.
Второе слагаемое здесь равно нулю. Что же касается первого слагаемого, то, согласно формуле (7.21), при s->oo
G(p, е)я^О<°)(/», т. е. ?(/?) не может расти про-
порционально єй G (р) S (р) -> 0 при S —> оо. Таким образом, мы доказали, что интеграл от второго члена в (19.12) равен нулю. Следовательно,
? = 2//-^lnO <19-15)
Как уже отмечено в § 7, G-функция не является аналитической, однако функция GA(s), равная G(s) при s>0 и G*(s) при є< 0, аналитична в верхней полуплоскости. Можно показать также, что функция Gr в верхней 226
теория ферми-жидкости
(гл. iv
полуплоскости не имеет нулей'). Отсюда следует:
OO о
—со — со О
-OlfJl f dP д In - 21 /' dP ,, °(Р) °
— J 2л J (2л)3 de G*(/>) ~~ 2л J (2л)3 G*(/>)
—со
(в интеграле с G^ контур можно сдвинуть в область Ims = oo, после чего интеграл обращается в нуль).
Если обозначить фазу G-функции через ср, то
Рассмотрим, как меняется фаза G-функции при переходе от S = O до є = — оо. Как известно из § 7, при е < О Im G > О, причем в точке є = 0 ImG = O. При s—>— оо ImG убывает быстрее ReG1 причем ReG«-^-<0. Ввиду того, что
Im G имеет определенный знак, точка, соответствующая значениям ImG и Re G при заданном є в комплексной плоскости О, перемещается только в верхней полуплоскости, т. е. фаза может меняться только от 0 до тс. Поскольку при
в-> — со д -> — 0, то ср(—оо) = тс. Значение фазы при
s = 0 определяется знаком ReG(0, />)=0(0, р)- Если G (0, р) > 0, то ср (0) = 0. Если же G (0, р) < 0, то ср (0) = те. Таким образом, из формулы (19.15) получаем:
G (0, р)> О
Область G (0, р) > О ограничена некоторой поверхностью, на которой функция G обращается либо в нуль, либо в бесконечность. Обращение G (0, р) в нуль (?—>со), по-видимому, соответствует сверхпроводимости (см. § 34). Что же касается обращения G (0, р) в бесконечность, то это имеет место у обычной ферми-жидкости и осуществляется на поверхности Ферми.
') Это доказывается так же, как и отсутствие нулей комплексной диэлектрической проницаемости є(ш) в верхней полуплоскости переменной ш (см. [45], § 62). § 19] эффективная масса
227
В окрестности поверхности Ферми (в данном случае ферми-сферы \р\ = р^ G (О, />) = —j-, где а > О, т. е.
область G (0, р) > 0 соответствует s < 0 (внутренности ферми-сферы). Взяв интеграл в (19.16), получаем формулу (2.1).
5. Теплоемкость. До сих пор мы рассматривали ферми-жидкость при T= 0. Представляет интерес исследовать свойства ферми-жидкости и при отличной от нуля температуре. Довольно естественно ожидать, что в случае низких температур все величины будут определяться значениями основных характеристик ферми-жидкости при T= 0. Мы продемонстрируем это на примере вычисления теплоемкости. Метод выделения температурной добавки, применяемый для этой цели, может оказаться полезным и в других расчетах.
