Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
или s/jjl) по сравнению с членом, происходящим от дифференцирования р0. Таким образом, получаем:
dG Q2 v dP<
"о
<5|л ' a dy. '
Отсюда
а (л \ (7[j. Д=о
Ip I=Pn
Подставим сюда формулу (19.4) и выразим Г* по формуле (18.8). Это даст:
ТЖ = 1(gr-
-TC^/?..<<>¦*> (-^-'H
Подставляя сюда (O2)ftl согласно (19.5), и воспользовавшись формулой (19.1), находим после некоторых сокращений
О+т^/^-WJ». ?)<*а) • (19-7>
Полное число частиц в системе определяется формулой (7.37). Продифференцируем это соотношение по Это дает'):
d (NjV) _ 9 Г да (р) d*P С dG~l (р) lr2 , d*p
—j- — — Л J ^4 — ^ J ^ Wb (2jc)4 •
Подставим сюда формулу (19.4) и выразим Г6 через Гш с помощью (18.8). При этом получаем:
d(N/V)_ 2t С f nit ^ diP
dPo
V
dp.
+ f {ОЧр)}Л,^(р, q){G4q))n (?
') Мы здесь для краткости опускаем под интегралом множитель еш (t-> 4- 0),§ 19] эффективная масса
221
Подставим сюда формулу (19.5) и воспользуемся соотношением (19.1). В результате находим:
= f J {0Чр)}Л,«Ї(Р, д)Х
v fр2 ( м 1 d4P , 8каРо 8жр1(а~1) dp0 X \G (д))ш (2я)4 (2л)4 -Г ^Yv (2т:)3 v V dp
Согласно соотношению (19.1), первые два члена в правой части этого соотношения есть не что иное, как
-и/ЮС=00 )-0(- = -00
но это выражение равно, нулю, так как, согласно формуле (7.11), О обращается в нуль при s—>±оэ. Это очевидно и из того факта, что написанное выражение равно изменению числа, частиц в системе при изменении начала отсчета энергии.
В последнем из оставшихся членов мы выразим J a2 VdQ
согласно (19.7). При этом получаем:
d. (NIV) __ 8т:р\ dp0
dp ~ (2к)3 dp • 9
Ниже показано, что это соотношение можно проинтегрировать по Jj.. Окончательно получим:
N 8я Po
V 3 (2 я)3
Формула (19.7) дает возможность проверить выражение (2.19) для скорости звука. Для этого достаточно заметить, что благодаря формуле (19.8) соотношение (19.7) совпадает с формулой (2.18).
3. Бозевские ветви спектра. Рассмотрим теперь вопрос о звуковых возбуждениях. Для этой цели мы произведем анализ, аналогичный формулам (7.32)—(7.33). Рассмотрим, как меняется со временем состояние системы, которое222 ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV
в момент времени t = t' описывается функцией
(19.9)
Р,«
Здесь I k I р0; typ* — операторы частицы с импульсом р в представлении взаимодействия. Проделывая все операции в той же последовательности, что и в (7.32)—(7.33), получаем амплитуду вероятности
Р\Рг "?
= ~J G«?, C? (Pv t, P2, t; Pl^k, t', P2 — k, t) -Jgf -фр =.
— — Co11O -(d D-D -4-А n — fei d*pi
— J сДРі' /'2' A Pi ' {2го)4 (2л)4 2л '
k = (?,u>).
Подставим сюда формулу (10.17) для О11. При этом получаем: {W0(t)W(t)) = f[2 f G(p)G(p + k)-Цг-
— і f Q (P1) G (P1 + А) Г (Л. P2; A) X t/
x g(p2) g (p2 - a)-gv 1?-] -?-- (19.10)
Выражение в квадратных скобках (мы обозначим его символом ia II), может быть преобразовано с помощью формул (18.4), (18.7) и (19.1). Целью этих преобразований является исключение членов, содержащих интегрирование вдали от е = 0, \р\ = р0. Это делается в том же духе, что и все выводы, проделанные ранее в настоящем параграфе.
Вершинная часть Г с помощью (18.7) выражается через Гщ, а интеграл типа J Гшср заменяется согласно формуле (19.1). В результате функция II оказывается равной 2рд Г kv ( Po Y Г
П== (2я)'« J «,-kv (2я)»г7 J l^Tfr^X§ 19] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
223
Путем непосредственной проверки легко убедиться в том,
Po Г
что величина II может быть записана в виде v J Hlaa где IIjav удовлетворяет уравнению
pl(kv) 1 с 2 (<о —ft«) Hle7Oo1 ft, и)--(2л)3 V Tj вГп. <*(»• "ОХ
X П11і5(ш,й, n')dQ' = (kv)Kv (19.11)
Как и в § 7, г,з формулы (19.10) следует, что значение Ci-J(Z)W(Z)) при Z ~> с» определяется полюсами функции П по комплексной переменной (О, лежащими в нижней полуплоскости. Уравнение для полюсов получается из (19.11), если отбросить правую часть. Сравнивая полученное уравнение с (18.9), мы видим, что величина II1 соответствует v. Поскольку нас интересует HeII1, a Sp3 J' II1 rfO, то из всех решений уравнения ^ 18.9)
рассматривается только изотропное в плоскости, перпендикулярной к вектору ft. Выбирая иные функции 1F0(Z), мы можем таким же образом получить уравнения для всех компонент (как по углам, так и по спинам) величины V0^.
Итак, было показано, что в ферми-жидкости могут существовать возбуждения, спектр которых определяется полюсами функции Г, т. е. уравнением (18.9). Эти возбуждения подчиняются статистике Бозе, так как им соответствуют операторы, билинейные по фермиевским операторам (см. (19.9)). Как было показано в § 2, такого рода возбуждения представляют собой различные ветви спектра нулевого звука. Тем самым определяется физический смысл полюсов функции Г в области малых передач энергии и импульса и доказывается тождество уравнений (18.9) и (2.24).
Из формул (19.9) следует, что звуковые возбуждения можно рассматривать как связанную пару из квазичастицы и дырки с близкими значениями импульсов.
4. Другой вывод связи граничного импульса р0 с числом частиц1). Здесь мы изложим другой вывод соотношения (2.1). Этот вывод дает непосредственно формулу (2.1), а не дифференциальное соотношение (19.8).