Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
— і {apiaap№s (оо) ap^dpf)0, (18.10)
где (. . .)о означает усреднение по вакууму. Оператор 5(оо) § 18]
свойства вершинной части
213
определяется формулой (8.8), т. е., будучи разложенным в ряд по Hint, представляет собой сумму интегралов от Т-произведений операторов ф.
Согласно формуле (8.10), каждое из таких Т-произведе*-ний может быть представлено в виде совокупности Af-npo-изведений. Очевидно, что в нашем матричном элементе будут существенны только те члены, которые содержат Л/-произ-ведения от четырех ф-операторов со всеми возможными связями. Поскольку связи представляют собой просто числа, то они не принимают участия в усреднении. В данном случае имеются две частицы, а потому
N (ф+ (X3) ф+ (X4) ф (X1) ф (X2)) = ф+ (X3) ф+ (X4) ф (X1) ф (х2).
При усреднении по вакууму матричного элемента (18.10) это Af-произведение дает множитель
ехр {і Cr1P1 +г2р2 — г3р3 — г4р4) —
— I O0 (Pi) ti + sO (Pi) *2 — ®о (P3) ts — ?о (Pa) } •
В выражении (18.10) этот множитель интегрируется по координатам вместе с выражением, содержащим только связи. В результате мы получаем совокупность всех диаграмм с четырьмя вершинами, причем энергия и импульс каждого конца связаны соотношением е = е0(р).
Такая величина соответствует последнему члену введенной ранее двухчастичной функции Грина (10.17) без концевых О(0)-функций. В рассматриваемой задаче о рассеянии двух частиц в вакууме эти G^-функции совпадают с полными G-функциями. Действительно, согласно формуле (7.3),
G(0) (г, t) = 0 при t < 0.
В то же время в любой диаграмме для поправок к G всегда найдется хотя бы одна пара линий, направленных в противоположные стороны (т. е. одно G(0) при t > 0 и одно G(0) при t < о), благодаря чему любая поправка к G(0) равна нулю.
') Исключение представляют диаграммы типа рис. 4, а, но как уже было отмечено в § 8, в таких диаграммах G^(O) надо рассматривать как предел lira G(0) (— t), который в данном случае ра-/-»+о
вен нулю. 214
теория ферми-жидкости
(гл. iv
По той же причине из диаграмм для вершинной части останутся только такие, в которых все линии О(0) идут в одну сторону, т. е. только диаграммы типа рис. 57, а. Из всего этого следует, что амплитуда рассеяния (18.10)
равна1) rs (рі/?2, РзРі)\Є{=і ^p у где Г' — вершинная часть
для рассматриваемой задачи.
Формула (9.17), выражающая связь между двухчастичной функцией Грина и вершинной частью, в данном случае принимает вид
0? (P1P2I P3Pd = О(0) (P1) G{0) (P2) (2гс)4 X
X [8 (P1 - P3) 8«Д8 - 8 (P1 - Pi) +
+ Ю{0) (Pl)Gm (р2) G{0) (P3) G(0) (Pdrl9,f0 (P1P2, P3Pd- (18.11)
Импульсы в этой формуле связаны законами сохранения. Величину Gu можно рассматривать как гриновскую функцию двух частиц (отсюда и происходит ее название). Первое слагаемое в формуле (18.11) соответствует свободному движению частиц, а второе — рассеянию их друг на друге.
Перейдем к ферми-жидкости. Сравним формулы (10.17) и (18.11). В области малых s и jр\, близких к р0, согласно (18.1), гриновские функции по форме очень близки к функциям свободных частиц. Для того чтобы функцию On можно было рассматривать как гриновскую функцию двух взаимодействующих квазичастиц, ее надо разделить на а2. При этом свободный член будет иметь в точности такую нормировку, как для реальных частиц с энергией г(р).
Второй член в (10.17) соответствует рассеянию квазичастиц. Сравнивая его с выражением для реальных частиц, мы приходим к выводу, что величина
оТаМ5 (P1P2, P3Pd !., = .(,,)-„ (18Л2)
играет роль амплитуды рассеяния квазичастиц.
В частности, если \рх\ = \р2\ = pQ, то все si = O. Амплитуда рассеяния с малой передачей импульса при этом
') Во всех формулах мы опускаем постоянный множитель, сравнение с теорией возмущений (см. -гл. 1) показывает, что он равен 4 T-Im, dQ 4л '
(18.14)
§ 19] эффективная масса 215
равна a2T(plp2, k) с со = 0, а амплитуда рассеяния на нулевой угол есть аГ\
Соотношение (18.8), связывающее O2Tk с функцией / = = а2Гт, может быть разрешено, если считать, что взаимодействие частиц, зависящее от их спинов, имеет чисто обменное происхождение. При этом мы можем записать a Ilft в виде 2
-d-a2Yk = A(nv n2) + B(nv /I2Jff1S2. (18.13)
РІ
а величину ^2v / = F согласно (2.28). Уравнение для Ф и Z (см. (2.28)) разделяются:
Л (яр я2) = ф(яр п2) — J Ф(яря')л(я', п2)~,
В (Яр B2) = Z (Яр я2) — У Z (я,, я') ? (я', я2) -
В изотропной жидкости все величины на ферми-поверх-
ности зависят только от Cos(W1W2) = Cosx. Разложим их по полиномам Лежандра, например, A (j) = ^l AlPl(Cosy). После этого сразу получаются соотношения между коэффициентами разложения:
^ = \ . B1= Z> . (18.15)
1 л. г 1 J__±1_
2/ -f- 1 2/+1
§ 19. Эффективная масса. Связь граничного импульса с числом частиц1). Бозевские ветви спектра. Теплоемкость
1. Вспомогательные соотношения. Прежде всего, получим несколько полезных соотношений для функции О. Предположим, что наша система находится в бесконечно малом поле IU (t), однородном по пространству и слабо меняющемся со временем. Соответствующий гамильтониан взаимодействия имеет вид Hlnt =Jty+ (г) bU (t) (г) dr. Если
