Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
<27 6J ej
Рис. 57.
случай & = 0 ничем не выделен, в случае в) полюсы обеих гриновских функций при k->0 сближаются. Как мы увидим ниже, это приводит к появлению особенностей в Iі. Следует заметить, что хотя диаграммы на рис. 57 формально относятся к случаю парных сил, в действительности диаграмма типа в) остается выделенной при любых силах взаимодействия.
Обозначим через Г<1> совокупность всех возможных диаграмм для Г, не содержащих «особых элементов» (линий 0(p)G(p-\-k)). Нетрудно видеть, что полная Г получается с помощью суммирования «лестницы», изображенной на рис. 58, где вершинами являются функции Г(!) и все линии являются особыми. Такое суммирование можно выразить посредством интегрального уравнения
г,,, rXPl, P2' k) = 1? f0(Pl, p2)—i f ГЦ', „ (Pl, q) G (q) X
XQ(q + k)r^(q,p2,k)-A. (18.3) 210
теория ферми-жидкости
(гл. iv
Ввиду того, что при & = 0 функция Г(" не имеет особенности (короткодействующие силы), в ней положено k = 0.
Рассмотрим теперь интеграл в (18.3). Он состоит из члена, происходящего от областей, удаленных от точки ? = 0, |/?|=/70, и интеграла по окрестности этой точки, который определяет особенность всего выражения. Если k мало, то эта окрестность может быть взята очень малой, и в соответствующем интеграле существенным будет лишь обход полюсов О-функций. Ввиду близости аргументов обоих Q можно считать, что все остальные величины под
интегралом медленно меняются с q. Вклад от полюсов возникает при этом лишь в том случае, если полюсы находятся по разные стороны от действительной оси. Для этого должно быть I <71 <С pQ, | q -j- k | > р0 или наоборот. Принимая во внимание малость k, нетрудно видеть, что при этом IorI^p0 и ея«0. Таким образом, в той части интеграла по q, которая связана с обходом полюсов, произведение Q(q)0(q-\-k) может быть заменено на Л8 (е) 8(j<7| — р0).
Коэффициент А может быть установлен с помошью интегрирования Q(q)0(q-\-k) по є и |9|; он равен
где V — вектор, направленный no q и равный v по абсолютной величине. Таким образом, произведение G(q)Q(q-\-k) может быть записано в виде
О (q) О (q + к) = ^ S (в) 8 ( | q | - р0) + <р (q), (18.4)
где ср (д) изображает регулярную часть произведения G (q) G {q k), которая существенна лишь в интеграле по далеким областям (поэтому в ней положено k = 0).
Предел выражения (18.4) при k, м->0 существенно зависит от того, каково соотношение между ш и k, Это же относится к Г в пределе (о->0,
Рис. 58.
2 Tiiai kv V ш — kv ' § 18] свойства вершинной части 211
I к I
Рассмотрим, прежде всего, Г в пределе со—>0, -->0.
Для этого предела, который мы обозначим как Гш, получаем из (18.3) и (18.4):
Г"р, ї5 (Ръ pi) = 1? fo(Pi, pi) — і J „ (Pl, q) ср (q) X
(18.5)
Из двух уравнений (18.3) и (18.5) можно исключить Г(1). Для этого условно запишем эти уравнения в операторной форме (под произведением подразумевается интеграл):
рШ г(і) __ т(і)
en m (18'6)
Здесь /Ф означает первый член в (18.4). Из первого уравнения получаем:
г=0+/Tw(P)-V).
Во втором из уравнений (18.6) перенесем член с ср налево и применим операцию (і+г'Г(1)ср) . После этого получаем:
Г = Гш + ГШФГ.
Записывая это соотношение в явном виде, находим:
д2 р2 /1
IVtsG»i/>2. = + ч) X
(2л)»
X Гp2)1^wdQ. (18.7)
Возьмем теперь другой предел, а именно |ft|— >0. Эту величину мы обозначим через Г*. Из уравнения (18.7) находим связь между Г® и Гш:
р^ Q^ f*
rf?, Т5 (Ръ Pi) = П?, гз (Ръ Pi) — ^Щі j 11?, „ (рь q) X
X T^1 o (?, pi)dQ. (18.8) 212
теория ферми-жидкости
(ГЛ. IV
Исследуем полюсы функции r(/7j, р2, k) при малых ft и ш. Ввиду того, что в окрестности полюса Г(P1, р2; к)^>Гт (plt р2), можно пренебречь членом Гш в правой части уравнения (18.7). Далее, можно заметить, что переменная р2, а также индексы ? и 8 играют в уравнении роль параметров. Поэтому функция Г около полюса может быть представлена в виде произведения двух функций уа [Р{> Ь)х1ъ{Р2> Щ- П°сле этого
X^i (P2', сокращается в обеих сторонах уравнения (18.7). Введем обозначение
пк
где п—единичный вектор в направлении рх, Для Va^ получается уравнение
(со — wift) ve7 (я) = яй f ГХп(п, D4 (I) dQ. (18.9)
Соотношение (18.9) совпадает по форме с уравнением для нулевого звука и спиновых волн (см. § 2, формула (2.24)). В следующем параграфе мы покажем, что это является вполне закономерным, так как полюсы Г определяют спектр звуковых возбуждений ферми-жидкости.
Величина а2Гш играет в уравнении (18.9) роль функции /, введенной в теории ферми-жидкости (§ 2). Сама по себе эта величина не имеет непосредственного физического смысла. Однако благодаря соотношению (18.8) она связана с функцией o2rft. Как мы сейчас покажем, эту величину можно с точностью до постоянного множителя интерпретировать как амплитуду рассеяния двух квазичастиц с Ip11 = |р2| = pQ на нулевой угол.
Рассмотрим вспомогательную задачу о рассеянии двух частиц в вакууме. Пусть в момент времени t = — оо волновая функция этой системы равна ар^Лр^Фо, где Фо — волновая функция вакуума. При t = оо система перейдет в состояние 5 (со) aPflCipt5®o- Амплитуда рассеяния с переходом частиц в состояния P1Oc1 р2(3 пропорциональна
