Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
8P С) =42 ?peipr' V С") = у S ?(г)=42 ^eipr' ррр
и учтем, что малые колебания жидкости всегда являются продольными, т. е. скорость Vp в волне с волновым вектором р всегда направлена по р:
Vp = арр.
Теперь из (1.7) легко найти, что
. Pp P
Vp=I-I--
P P2
и,
^w(p)+4 2(?^IppI2)- (1-8)•18
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
Первый член в (1.8) представляет собой энергию невозмущенной жидкости, второй — распадается на сумму членов, каждый из которых есть не что иное, как энергия гармонического осциллятора с частотой где
Мы видим, таким образом, что всякое малое колебание жидкости распадается на элементарные колебания — элементарные возбуждения, описываемые уравнениями для гармонического осциллятора.
В квантовом случае энергия каждого такого осциллятора выражается формулой
Возникающая структура спектра системы полностью соответствует описанной выше картине элементарных возбуждений. Спектр системы представляет собой суммы энергий различного числа элементарных возбуждений; зависимость энергии элементарного возбуждения е (р) от импульса определяется при этом формулой (1.9) и очевидным соотношением
Для окончательного решения задачи нам необходимо выразить fр через характеристики системы. Для этого заметим, что в квантовом случае энергия основного состояния системы не совпадает, как в классическом, с (р), ибо при этом следует еще учитывать энергия так называемых нулевых колебаний осцилляторов, равную для каждого осциллятора, как известно, шр/2. Таким образом, энергия основного состояния бозе-жидкости равна
2 - 2 ШР = PP ІР-
(1.9)
S (P) = Up-
ZE 2 '
р
причем (см. (1.8))
V~-^\Pp\2 + ^P\PP\2-9P\PP\2- (1-Ю)§ 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 19
Из (1.9) и (1.10) мы немедленно получаем '):
«(/») = ffl^ = 2ІЩрУ <1Л1>
12
где 5 (р) = 1 есть фурье-компонента так называемой Vmp
функции корреляции плотности
S (г — Ґ) — (г) —»] _
п
Здесь л (г) = р (г)/т — число частиц в единице объема.
Хотя величину S(/;) и невозможно вычислить, формула (1.11) позволяет сделать целый ряд очень важных заключений о виде є(/»). С другой стороны, зная некоторые общие свойства спектра е (р), мы можем судить о поведении S(p), которая определяет собой процессы взаимодействия жидкости с различными частицами (нейтронами и т. д.; см. ниже, гл. III, § 17).
В области малых импульсов энергия возбуждения, как уже упоминалось выше, линейно зависит от импульса: є up. Отсюда следует, что и S(p) также линейно зависит от
импульса 5? J.
В области малых расстояний, или, что то же самое, больших импульсов, функция S(r) имеет, как известно (см. [1], § 114), вид
5 (г) = 8 (г)+ V (г), (1.13)
где V (г) не имеет особенностей при Г—S-0. В фурье-компо-нентах мы тогда имеем:
S(p)=l+v(p),
v (/>)—*• 0 при р -> со. Таким образом, при больших импульсах S (р) стремится к единице и
D2
B(P)- Р
2 т
') Формула (1.11) была впервые получена Р. Файнманом [51 другим способом. Его вывод существенно сложнее и с нашей точки зрения не является более общим, чем изложенный выше.•20
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
т. е. энергия элементарного возбуждения совпадает с энергией свободного атома жидкости (атома Не4).
При промежуточных значениях импульса функция S(p) может или монотонно возрастать от нуля до единицы при возрастании р, либо может иметь максимум при значении
1 , р,— —, где а — межатомные расстояния (это следует из
соображений размерности, поскольку в задаче о жидкости есть только единственный параметр размерности длины — межатомное расстояние). В последнем случае спектр элементарных возбуждений может иметь вид, как на рис. 1. Впервые гипотеза о том, что спектр возбуждений жидкого He4 имеет минимум при
р—была высказана Л. Д. Ландау [2, 3].
Следует отметить, что произведенный вывод формулы (і. 11) основан на гидродинамическом приближении, при котором жидкость рассматривается как сплошная среда. Это приближение становится неправильным в тех случаях, когда существенны расстояния порядка межатомных, или импульсы порядка \/а. Поэтому формула (1.11), правильная при малых импульсах, должна рассматриваться как интерполяция между областью малых импульсов и областью предельно больших импульсов, при которых частицы фактически являются свободными и элементарные возбуждения совпадают с частицами, т. е. обладают энергией p2j2m.
Спектр элементарных возбуждений в жидком Не4, разумеется, не может быть рассчитан во всех деталях. Наиболее точные кривые зависимости є (р) были получены в последнее время из экспериментов по рассеянию нейтронов в He4 [6].
Знание энергетического спектра позволяет вычислить термодинамические функции жидкого He4 (точнее, разность их значений при данной температуре и при 7=0). При этом, в зависимости от величины Т, наибольшую роль будут играть различные участки спектра (см. рис. 1).
В области самых низких температур наибольшее значение имеет часть спектра при малых р, т. е. фононы. При более высоких температурах наиболее существенными становятся§ 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 21