Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
205
(і — начальное, / — конечное состояния жидкости). Отсюда для дифференциального сечения рассеяния (Д—передача энергии) имеем:
do ~ O2 f drx dr2e-14 (t I (г,) ф (T1) I /) X
X (/ I C2) ф (r2) j /> 8 (Et - Д).
Просуммируем это выражение по конечным состояниям / и затем усредним по начальным состояниям і по Гиббсу:
s + p.nre.
d° ~ °2 S / rfrI (Г1"Гг)е f <' ІCl) ф Cl) I /) X і, f
X </ I C2) Ф C2) І і) 8 (5/ -E1- А).
Подставляя, наконец, выражение (17.6) для операторов ф(/")> получим окончательно:
2 + 1MrEl
da ~ а2 (2тс)31/ 2 * f I </1(0) ф (0) I /) Г X
l'f Xb (Pfl-q)b (Wfl- A), (17.29)
где Vr — объем системы, Wyi = Ef — Ei, Pfi = Pf—P1.
Легко убедиться, что выражение (17.29) с точностью до множителя совпадает с мнимой частью фурье-компоненты функции
K(rx—r2, Z1-Z2) =
I S + v-N-H Ї
=-< Sp\е т Tt (rv Z1) ^)ф + С2. '2)ФС2. *а)} I а именно:
da-—• — Va2 Im/?(g' *>. (17.30)
Функция 7<" есть двухчастичная гриновская функция с попарно совпадающими аргументами, ее аналитические свойства ничем не отличаются от аналитических свойств бозевской одночастич-ной гриновской функции О. Если по аналогии с Gr и © ввести функции Kr и A, то для последних можно дословно повторить все сказанное выше относительно функций О, Gr и ©, 206 диаграммная техника при конечных температурах [гл. itt
заменив при этом во всех формулах от (17.1) до (17.21) операторы ф(1), ф+(2), соответственно, на ф+(1)ф(1) и ф+(2)ф(2).
Таким образом, для вычисления da достаточно найти температурную гриновскую функцию A и построить ее ана-литическое продолжение в верхнюю полуплоскость л . После этого сечение находится при помощи соотношения
do--(17.300
1— е~11Т
В заключение мы покажем, как вычисляются суммы по wn типа (16.12). Заметим, что при больших wn функция © имеет вид
©да(17.31) (это сразу следует из (17.24) и (17.20)) и, стало быть, сумма
(17.32)
при т = 0 расходится. В действительности это означает, что, как видно из определения © (т), последняя претерпевает разрыв при т = 0.
Будем считать т сколь угодно малым, но конечным. Тогда ряд (17.32) сходится. Учитывая (17.26), перепишем его в виде
2T cos WnT Re © (со„) -\-2Т sin со„т Im © (сол)
(штрих у знака суммы означает, что член шл = 0 берется с половинным весом). Ввиду того, что в силу (17.31) Re© при Wn->оо стремится к нулю быстрее, чем 1 /шп, в первой сумме мы можем положить просто т = 0. Для вычисления второй суммы заметим, что в сумме ПО Wn основную роль играют wnT—¦!, т. е. при т—>0 большие wn. Ввиду этого
сумму по и,, можно заменить
интегралом ^ —> ~ J^j , § 17]
временные гриновские функции G
207
причем для © (со„) следует, конечно, использовать ее асимптотическое значение (17.31). Имеем:
со
lim 2 7 sin со„т Im © (w„) = — j" sin^x"* dx = —sign т.
Таким образом, мы получаем следующее правило вычисления суммы (17.32):
Iim ТУ,® (O)Je" iV = 27 У' Re ©К)-Isign т. (17.33)
Wn <»Л>0 ГЛАВА IV ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ1)
§ 18. Свойства вершинной части при малых передачах импульса. Нулевой звук2)
В настоящей главе мы, прежде всего, покажем, как методы квантовой теории поля позволяют обосновать положения общей теории ферми-жидкости. Мы рассмотрим для этой цели систему ферми-частиц с произвольными короткодействующими силами взаимодействия при T = 0. Свойства гриновской функции в этом случае были рассмотрены в § 7. В частности, там было установлено, что возбуждениям типа «частиц» соответствует полюс функции Gr в нижней полуплоскости вблизи действительной положительной полуоси комплексной переменной s3), а дыркам — полюс Ga в верхней полуплоскости вблизи полуоси s < 0. Поскольку обе эти функции получаются как аналитические продолжения О-функции с разных действительных полуосей переменной 6, то можно утверждать, что в окрестности точки S = O, |/?| = р0 функция О имеет вид
G(p, S) =-J1-.- * . .—л—і-Г. (18.1)
v^ г — f ( I /71 — Po) + Л Sign ( I р I — Po)
где а — коэффициент, смысл которого был выяснен в § 7 (см. (7.40)); S —>- —|— 0; v(\p\—р0) — разность е(р) — [х,
') В этой главе нам будет удобно обозначать частотную переменную в гриновской функции буквой г.
2) Этот параграф в значительной степени основывается на результатах, полученных Л. Д. Ландау [34].
3) Для гриновских функций при заданном N, определенных в § 7, это соответствует е > р.. § 18]
свойства вершинной части
209
разложенная в окрестности \р \ = P0 (напомним, что /?0 определяется уравнением е(/?0) = |х). Коэффициент разложения V есть скорость возбуждений на ферми-границе, равная P0Im*, где т* — эффективная масса возбуждений.
Рассмотрим свойства вершинной части Г. Эта функция наряду с О играет существенную роль в теории ферми-жидкости. Мы рассмотрим поведение вершинной части при рг, близком к р3, а р2 — к р4. Введем обозначение
Г (Pv Pi Pi +Ь. Pi- к) ^Г (Рг, р2, k), (18.2)
где передача энергии-импульса k = (k, со) — малый 4-вектор (т. е. |ю|<^|х). Рассмотрим простейшие диаграммы
для такой вершинной части, изображенные на рис. 57. Выражения для этих диаграмм содержат интегралы от двух гриновских функций. В то время как для диаграмм а) и б)
