Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
— со —со —со
Таким образом,
со
J р(я, /Od* = —1. (17.20)
-OO
Функции Gr и Ga ведут себя при больших ш, как
G^Gl4-I, (17.21)
т. е. как соответствующие функции невзаимодействующих частиц. 202 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. itt
Запаздывающие и опережающие функции удовлетворяют бесконечной системе зацепляющихся уравнений (Боголюбов и Тябликов [33]). Однако для их вычисления не существует диаграммной техники, подобной технике для температурных гриновских функций ®. Поэтому представляет интерес установить связь между Or и ©. Для этого построим для @ интегральное представление, аналогичное (17.18).
Используя определение (11.1), мы можем написать (х > 0):
S + p.Nn-En
®(r, x) = -S в r e"W-"W |фпт(0)|2. (17.22)
л, т
Переходя в (17.22) к фурье-компонентам по формуле
1/7
®(р, шй) = J dx f dreim^-tpr® (г, X),
о
где u)? = (2k -)- 1) тс 7 для ферми-частиц и шА=2&тс7 для бозе-частиц, получаем:
®(р, ^) = -(2^2je г \^пттЧ (P-Pmn) X
л, m
X 1±g""7/r, (17.23) Функция (17.23) может быть представлена в виде1)
Х>
/AS <17-24>
— OO
с тем же самым р, что и в (17.19), откуда получается соотношение, связывающее ® при а>п > 0 с Or (а>):
®(шп) = 0*(/шп), шп > 0. (17.25)
С другой стороны, из (17.24) следует, что
® W = (-«•>„). (17.26)
') Может показаться, что в бозе-случае при ш„ = 0 интеграл (17.24) имеет особенность в точке х = 0. Однако из (17.19) следует, что в этом случае р ~ х при малых х. § 17] временные гриновские функции G 203
Таким образом, зная аналитическую в верхней полуплоскости функцию Gr(W), мы можем, пользуясь (17.25) и (17.26), построить температурную гриновскую функцию © для всех «частот»
Значительно больший интерес представляет, однако, обратная задача построения функции Gr по известной ©. Вообразим себе, что нам известна © для всех частот шл и что нам удалось построить аналитическую в верхней полуплоскости со функцию F (со), обладающую свойствами:
F(Zcon) = ©К), со„>0.
Тогда по известной теореме из теории функций комплексного переменного1) мы немедленно получили бы, что всюду в верхней полуплоскости F(со) совпадает с Gr(со).
Итак, задача построения функции Gr (со) сводится к задаче аналитического продолжения ®(соп) с дискретного множества точек на всю верхнюю полуплоскость (Абрикосов, Горьков, Дзялошинский [30], Фрадкин [31]). Хотя такая задача и не имеет решения в общем виде, в различных конкретных случаях аналитическое продолжение может быть проведено. В следующих главах мы столкнемся с рядом примеров этого рода.
Зная запаздывающую функцию Gr(со), можно, пользуясь соотношениями (17.12), найти гриновскую функцию О (со). Как упоминалось в начале этого параграфа, гриновская функция G (со) определяет целый ряд кинетических свойств системы. Тем самым метод аналитического продолжения в технике температурных функций Грина позволяет выйти за рамки чисто статистической задачи вычисления термодинамического потенциала; по существу, одновременно с вычислением Q мы можем находить кинетические коэффициенты системы.
В принципе соотношения, аналогичные (17.24), могут быть получены и для многочастичных гриновских функций. Однако
') Упомянутая теорема гласит, что две аналитические функции, принимающие одинаковые значения на бесконечной последовательности точек, имеющей предельную точку в области аналитичности, совпадают. В нашем случае такой последовательностью являются целочисленные точки j(i)n, а предельной точкой будет служить бесконечно удаленная точка. 204 диаграммная техника при конечных температурах [гл. itt
ввиду того, что они зависят от большого числа частот (например, от трех для двухчастичной функции), общие соотношения оказываются довольно громоздкими и неудобны для пользования. К тому же в большинстве практически важных случаев бывают нужны гриновские функции, у которых часть аргументов совпадает. Аналитические свойства таких функций не отличаются от таковых для одночастичных функций, и соотношения, связывающие температурные и временные величины, могут быть для них без труда установлены.
Рассмотрим, например, рассеяние медленных нейтронов в жидкости, которую для простоты будем предполагать состоящей из бесспиновых бозевских частиц. Взаимодействие медленного нейтрона с атомом жидкости, как известно, может быть описано при помощи точечного взаимодействия (см., например, [15]):
V (г — Я) = 2u а8 (г — R), (17.27)
где г, R— радиус-векторы падающего нейтрона и атома жидкости, тп, т — соответственно, их массы, а — амплитуда рассеяния. Суммируя (17.27) по всем атомам жидкости, мы получим энергию взаимодействия медленного нейтрона с жидкостью
V{r) = 2v^±?hLa^{r-Rk). (17.28) " ft
В представлении вторичного квантования для частиц жидкости V (г) имеет вид
где ф, — операторы поля частиц жидкости в шрединге-ровском представлении.
Матричный элемент перехода при рассеянии нейтрона с передачей импульса q пропорционален величине
a J e-iqr{l\i}+(г) i?{r)\f)dr § 17] временные гриновские функции G
