Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^n,пі?) = ^nm(O) е-1"птг,
^nm (Г) = (0) Є~ірптг, (17.6)
О = P -P
Fnm ' п т'
где Pn, Pm — импульсы системы в состояниях п, т. Величины флт(0) и ф+т(0) в (17.6) уже от координат не зависят. Подставляя (17.5) и (17.6) в (17.1), мы получим:
Ga3 (г, f > 0) = 2 в г «<ш*ip™r (ф.(0))яя,(фр+ (0))тл,
п, т
Oa9{r,t< 0) =
= ±i 2 Є" Г Є~ 1штп< +iPmnr (фя (0) )пт (^+ ( 0))т„. п, т
Перейдем от пространственного представления функции Грина к ее компонентам Фурье:
G (р, ш)= f fa (г. t)e"ipr+iu,t drdt.
Интегрирование по пространству дает 8-функции от р-\~рпт. Интегрирование по t производится отдельно по интервалам от — со до 0 и от 0 до со. При этом следует использовать известную формулу
со
f elaJcdx = ^ь (а)+-^-.
о
Интегрируя по t от 0 до со, получаем (Nn = Nm—1): „ S+»Nn~En
(2.)3 2 , г (t (0))nm (фр+ щтпь{р+рпт) X в
п, т
') См. примечание на стр. 81. 198 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. III Интеграл по области t < 0 дает:
± (2u)3 ^e г (фв (0) )пт (ф+ (0))mn § (р _ ртп) х
п, т
откуда
a+V-Na-Ea
(р. о.) = - (2тс)3 ^ в г (фв (0) )пт fa (Oj)ma X
и, т
X 8(/»-pmn) J5r-^i +
I штп ш
4- ((U - (Omil) [і;+ «""W7"] J . (17.7)
Ход дальнейших рассуждений связан с зависимостью Gap от спиновых переменных. Если система неферромагнитна, а только этот случай мы и будем рассматривать, то из соображений симметрии следует, что Ga3 должна быть пропорциональна единичному тензору 8а6:
G^ = Kfi. (17.8)
Q+IiNn-En
= - (2*)3 2 в f -T1 S I (Ф. (0) )пш I2 8 (Р ~ Pmn) X
п, т а
х{ ^-Tus [1 ± e-"mnlT\ -(Umn) [l +e-am»lr\} , (17.9)
S — спин частиц.
Сравнивая между собой два члена в фигурных скобках (17.9), мы убеждаемся, что между вещественной и мнимой частями гриновской функции, G' и О", существует определенное соотношение (Ландау [32]). Именно, для случая статистики Ферми мы получаем:
со
>(,.») = ! j cth ^ (17.10)
— qo § 17] временные гриновские функции G 199
где интеграл берется в смысле главного значения; для статистики Бозе имеем:
оо
і С,. X G" (р, X)
0'(р, »)=^Jth 2Г-ТЇГ*- (17Л1>
— OO
Кроме того, из (17.9) следует, что для бозе-частиц О" всегда отрицательна. Напротив, мнимая часть G-функции ферми-системы меняет знак при ш = 0; она положительна при W < О и отрицательна при со > 0.
Из соотношений (17.10) и (17.11) следует, что О, рассматриваемая как функция комплексной переменной ш, не является аналитической. Функция G, однако, связана простыми формулами с двумя функциями — Gr и Ga, — аналитическими, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях переменной ш. Функция Gr выражается через вещественную G' и мнимую О" части G как
Gr (р, m)=0'(p. со) -f- і cth О" (р, со) (17.12) для случая ферми-частиц и
> „Л -L-Zth__
2Т
Gr (р, со) = G' (р. ш) -I- Hh ~ О" (р, (о) (17.13)
для бозе-частиц. Аналогично
Ga (р, u>) = G'G». Ш) — t cth ~ G" (р, ш),
Ga (p. a) = Of (p. w)~tth~ G" (р, со).
Функции Gr и Ga удовлетворяют дисперсионным соотношениям:
OU
1 Г ImGff Tt J X — I
Re 0"((O)=-Lf ^qr(X) dXt
1 v-- (J>
ReG^(Co) = -Xf 1"<>АЫах.
V 1С J X-(0
(17.14)
— CO
откуда, согласно известной теореме теории функций комплексного переменного, и следует их аналитичность. 200 диаграммная техника при конечных температурах [гл. itt
D
Нетрудно проверить, что О совпадает с так называемой запаздывающей функцией Грина:
Gr(I, 2) =
J-fSpJe г (ф(1)ф+(2) ±ф+(2)ф(1))Г. tx>t2,
[ 0, h<t2, (17.15)
a Ga — с опережающей функцией: Ga (1, 2) =
0, t, > t2, j в+'Ш-й і (17.16)
/SpU r - (ф(1)ф+(2)±ф+(2)ф(1))/ Z1 < t2
Действительно, проводя для (17.15) точно такие же вычисления, какие мы проделали для О, мы получим:
2 + 1 Mn-En
Or(р, ш) = -(2*)э ^ 1Ф«т(0)!2(1 ±е-в»»/7)Х
п, т
X 8 (р - Pmn) {/їй (»¦- о>тя)- ^^ } • (17.17)
Функция (17.17) явно удовлетворяет соотношениям (17.14).
Формулу (17.17) для Gr (и аналогичную формулу для Ga) можно представить в несколько ином виде:
со
Gr (р, ш)= f -JiPdtLr dx. vf^ J J X—СО— 10
(17.18)
— CO
где р — вещественная функция
р (р, 0.) = -(2^ 2 в г I^ffl(O)PX
п, т
х(1 ±е-ш<пп1Т)Ь(р-ртп)Ь(ш-^тп). (17.19) § 17] временные гриновские функции G
201
Выражения типа (17.18) были впервые получены Лема-ном [27] применительно к гриновским функциям квантовой электродинамики. С их помощью можно, в частности, сделать заключение о поведении Gr и Ga при больших ш.
OO
Г
Именно, замечая, что интеграл I рdx конечен, находим:
-OO
OO
/ Pdx.
— OO
С другой стороны, мы можем вычислить интеграл от р, воспользовавшись определением Gr (17.15). Действительно, в силу правил коммутации гайзенберговских операторов при Z1=Z2 мы имеем:
Gr (г,, г2; Z1 = Z2 + 0) = - ib (г, — r2),
Gr(р\ Z1 = Z^O) = -/.
Выразим Gr(р; Z1 = Z2 + 0) через Gr (р, ш):
OO
Gr (р, Z1 = Z2 +О)= Х_ J du>GR(p, ш)е~1т, а —> + О,
— СО
и подставим сюда выражение (17.18) для Gr:
oo oo oo
Jdx9(x,p) J da = I, f f(x, P)dx
