Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Связь гриновских функций с термодинамическим потенциалом Q. В заключение мы выведем ряд соотношений, связывающих термодинамический потенциал Q с темпе-
') Коэффициенты в (16.5), (16.6) проще всего проверить, вычислив обе стороны равенства в первом порядке теории возмущений. § 16] уравнение дайсона. многочастичные функции грина 193
ратурными гриновскими функциями. Начнем со случая парного взаимодействия частиц. Введем вместо потенциала J^0'
Рис. 56.
потенциал XJ(0) с 0 < X < 1 и продифференцируем выражение для 2
Q = Q0- Tln(S)
по X. Имеем:
— j" d X, .. . d X4 jii'-.io (XltX2', XyX4) X
X (Tz {фа (X1) фр (X2) ф5 (X4) фт (X3) S (X)}) / <3 (X)) или, согласно определению (16.4),
^ = J d X1 ... d X4^f ys (X1, X2*, х3, Х4) X
хщ ; a? (х4, X3; X1, X2).
Проводя здесь преобразование Фурье и используя (16.5), получаем ((§(/?, X) — гриновская функция при X=?l):
Ж f dpi(bzy1j fdpi Х
(О I. (O1
XbJZr T3T, (Р> Pv P' РгЩзЬ (P• Х) ®г4т2 (Pv Ь) ± i^JpS /dPi^1Jw ъуa (P' Рі+Р2~Р> Pv Л) X
OI1, OJ2
Х®гзТб (Рі.>ОС\Тб(р2, >.)®ГвТв(/»1-|-/»2 —р. х) X X Jт5г6; г7г8(P2- Pi: P- Р1+Р2 —Р)®г7т1(р. >•)}• (16.7) 194 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. Itt
Заметим, что выражение в фигурных скобках в (16.7) совпадает с правой частью уравнения Дайсона (16.1) с потенциалом взаимодействия XJ-^1 т. е.
dQ + VT
2/{©?a(p, X)-®g(/,)}. (16.8)
д\ — _ 2Х (2тс):
со
Интегрируя (16.8) по X с учетом условия 2 (Х=0) = 20, получаем интересующее нас соотношение
2 = 20± і
iIvZrwS/(16.9)
О О)
В случае взаимодействия с фононами существуют аналогичные соотношения, выражающие 2 через интеграл от ©-функции системы по заряду g. Вычисления, в точности совпадающие с проведенными нами при выводе (16.9), приводят к результату:
?
Q = Q^V f^-^^f dp (/ш„_е (/,) + ,0
X
X (©„ {р. %) - ©So». «>„)) =
о
X og). (16.10)
CO0 (k)
Другая полезная формула вытекает из известного соотношения, связывающего производную 2 по массе частиц т с производной по т от полного гамильтониана системы H (см. книгу Ландау и Лифшица [1]):
(Щ
\dmjT V( ^ \дт!
Поскольку
дН дт
§ 17] временные гриновские функции G 195
то, согласно определению ©-функции (11.1), мы сразу получаем:
или в фурье-компонентах')
+ ",)^-+0.(16.11)
Пользуясь соотношениями (16.9) — (16.11) и соотношением (11.6), имеющим в фурье-компонентах вид
Ir= ¦-= + W S /'^»-) ^ + °>-
(16.12)
мы можем рассчитать производные от 2 по различным пара-метрам. Эти соотношения выражают термодинамический потенциал 2 через гриновские функции.
§ 17. Временные гриновские функции G при конечных температурах. Аналитические свойства гриновских функций
Наряду с изученными нами температурными гриновскими функциями © при конечных температурах сохраняют свое значение и временные гриновские функции G, введенные в предыдущей главе. В дальнейшем на различных примерах будет показано, что последние определяют кинетические свойства системы, в частности, электросопротивление и комплексную диэлектрическую постоянную є как функцию частоты поля. Функции G описывают также процессы неупругого рассеяния частиц на конденсированных телах.
При отличных от нуля температурах одночастичную гриновскую функцию G (гJ—r2, — ^2) следует определить как
Oep (Г!-г2. tx f2; En, N) =
= -l(Ea, N\Tt^ir1, /,)^(1?. t2)) IEn, N), (17.1)
') B § 17 мы покажем, каким образом вычисляется входящая сюда сумма по ">„. 196 диаграммная техника при конечных температурах [гл. itt
где ф, ф +— гайзенберговские операторы системы. Усреднение в (17.1) производится по состоянию системы с энергией En и числом частиц N. Определение (17.1) включает в себя как частный случай определение G при Г= 0, когда усреднение происходит по основному состоянию системы. Гриновская функция (17.1) зависит от полной энергии системы E и числа частиц в ней. В квантовой статистике удобнее рассматривать все величины как функции температуры и химического потенциала р., что эквивалентно переходу от микроканонического распределения к каноническому (см. [1]). Усредняя (17.1) по распределению Гиббса, мы получим:
(Г1 - rV tX- h' Т> Ij-) =
3 + 1 M-En
= r Oep (г,-г2. f,-*,. En, N) =
N, я
( S + V-N-H ї
= - / Sp \е т Tt [ф. (г,, tx) ф3+ (r2, t2)}\. (17.2)
Аналогичными формулами определяются многочастичные функции. Функция Грина фонона имеет вид
D(l, 2) = — г Sp { е~т~Т{ [tp (1) tp (2)]} (17.3) и двухчастичная гриновская функция
G7/(l, 2; 3, 4) = Sp je г Г,[ф(1)ф(2) ф + (3)ф + (4)]J. (17.4)
Фурье-компоненты гриновской функции G(uі,р) удовлетворяют некоторому весьма общему соотношению (Ландау [32]). Для его вывода заметим, что временная зависимость матричных элементов гайзенберговских операторов ф, ф+ дается выражением
фimir.t) = еЫ«т*, (17.5)
шпт = En~Em — \>'(.Nn — Nm)
(причем всегда Nn = Nm± 1). § 17] временные гриновские функции G 197
Координатная зависимость матричных элементов операторов ф(г) в случае, если рассматриваемая система однородна и безгранична, в свою очередь имеет вид1)
