Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Дайсона (16.1) изображается графически так же, как и соответствующее уравнение в гл. II (рис. 53).
Жирной линией обозначена ©, светлой — ©(0), а заштрихованным квадратом — вершинная часть J\
Рис. 53.
Если ввести (?1, обратную матрице ®а?, то уравнение (16.1) можно представить в форме
©Г?1 (р) = (/со - S (P) + [X) Sa3 + -^r 2 f dp, X
U>1
X Jі?,; T2I3 (P' Pv Pv Р) ®т2т, (.Pi) ~ T&zf 2 f dp^ dpZ Х
OJ1OJj
Х Y2T3 (P' Pi+Pi- р> Pv Pt) ®уЛ (Pi) ®т3т5 (ft) X
X ^т6ЇІ (A+ P2-Р)(Zt4T6:т6?(A- Pi'' Pi+P2 — P> P)- (16-2)
Аналогичным образом записывается система уравнений для © и © в случае взаимодействия с фононами (рис. 54):
(Р. <"„) = (тп — є (P)+ [х) 3a? +
+ (grS/dp'^[P'' <)Ъ{Р'-Р' <-%)Х
uj
X J (p. Pf-, «V <)>
©-'(ft. шл) — — wO 2 (ft) (шд+ш О (ft)) +
+ W 2 / %(р'> О(P'<°п)X /
uV
X a (p'. P'- ft; <•>;. <-%). (16.3) 190 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Функция J" в (16.3) представляет собой полную вершинную часть. Она описывается суммой всех компактных диаграмм с двумя внешними линиями частиц и одной внешней фононной линией (рис. 55).
Рис. 54.
Как и при температуре абсолютного нуля, полные вершинные части при Тфб связаны определенными соотношениями с многочастичными температурными гриновскими функциями. Последние выражаются в технике Мацубары
Рис. 55.
формулами (11.1) — (11.4), по виду в точности совпадающими с соответствующими выражениями при T= 0. Учитывая также тождественность формулировок теоремы Вика в обоих случаях, мы немедленно приходим к выводу, что для вычисления многочастичных функций © можно воспользоваться многохвостными диаграммами, сохранив при этом (в пространстве г, т) все правила сопоставления, описанные в § 14.
Для перехода к импульсному представлению полезно применить формальный прием. § 16] уравнение дайсона. многочастичные функции грина 191
Рассмотрим, например', двухчастичную гриновскую функцию
©1^(1. 2; 3, 4)=<Гт{фв(1)фр(2)?т(3)фв(4)}) (16.4)
(ф — «гайзенберговские» операторы (11.3)); она зависит от четырех «времен» X1, х2, х3, х4, каждое из которых меняется от 0 до 1/7. Продолжим (16.4) на область x1 от — 1/7
до 0, положив, что ©П(1, 2; 3, 4) при x1 < 0 связана с ее значениями при x1 > 0 соотношением (11.8); аналогичное продолжение проводим и по х2, х3, х4. Проводя теперь преобразование Фурье (14.2) по каждому из х, мы сразу убеждаемся, что частоты, соответствующие каждой «фермиев-ской» переменной (фермиевскому оператору в (16.4)), могут принимать только нечетные значения: (2ft-(-1)чс7, а частоты, соответствующие «бозевской» переменной — только «четные» ЧшТ.
Аналогичной процедуре продолжения можно подвергнуть, разумеется, любую многочастичную гриновскую функцию.
Как и в § 14, нетрудно проверить, что преобразование Фурье по X удается совершить во всех членах ряда теории возмущений. Возникающие при этом правила сопоставления совпадают с правилами § 14 для одночастичной гриновской функции. Сохраняется также упомянутая в начале этого параграфа связь между диаграммными техниками при 7=0
и Тф 0. Выражение для поправки к ©"(1, 2; 3, 4) получается из выражения для Gu (1, 2; 3, 4), соответствующего той же диаграмме, при помощи упомянутой выше замены
ш->шп, (2тс)-1 J січі -> г'7^ . Наличие такой связи позво-
п
ляет дословно повторить все написанные в § 10 о диаграммах для многочастичных функций. Ряд теории возмущений
для ©"(1, 2; 3, 4) может быть сведен к сумме всех компактных диаграмм, составленных только из жирных линий, отвечающих точной гриновской функции ©(1, 2). Эти диаграммы совпадают с диаграммами для полной вершинной части J1, откуда следует, что должно существовать соотношение 192 диаграммная техника при конечных температурах [гл. itt
между ©"(1, 2; 3, 4) и Jj. Нетрудно убедиться, что оно имеет вид1)
т» (Pv Pi Pv Pd = { (p^ (р2) Х
X S (P1 —Pd + ©ay (Pl) ®f)J (P2) ScoimiS (/>, "/?)] ± "± ©аХ (Pl) (P2) Zдр.; v. (Pv P2', P3, P4) ©n (P3) ©т8 (Р4)} X X ЬЮі+Ш2-Шз-тР(р1+р2—р3 — рі). (16.5)
Вершинная часть ^(Pi- P2) в случае взаимодействия с фононами связана с фурье-компонентами гриновской функции
©a?(l, 2; 3) = (7, {ф.(1)фр(2)ї(3)}>
соотношением
®.?0»1. P2; ft) = -^-®eT(Pi)®TP(ft)®(A)x
X J1 (Pv pl-\-k)b(pl—p2-\-k)ba>l_IB2+a>. (16.6)
Как следовало ожидать, соотношения (16.5), (16.6) отличаются от соответствующих соотношений (10.17), (10.21) лишь численным коэффициентом.
Подчеркнем, что метод графического суммирования может применяться только к диаграммам для ©-функций. В рассмотренном в § 15 ряде теории возмущений для потенциала S такого суммирования произвести нельзя из-за
коэффициента стоящего перед диаграммой re-го порядка.
Диаграммы такого типа, очевидно, уже не будут распадаться на отдельные блоки, подобно диаграммам для ©, и результат суммирования какой-нибудь бесконечной последовательности диаграмм не сведется просто к замене светлых линий на жирные. В частности, совершенно незаконен графический процесс, показанный на рис. 56.
