Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(15.1) 182 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Вика произвольного члена ряда для
1 /г 1/7"
tz^Lf ...f dz, ... dzn(Tz[Hint(z1) ... HiM)) (15.2) о о
мы, начав спаривание с какого-нибудь оператора, входящего в Hint(Z1), вернемся обратно к Hint(Z1), не миновав при этом .у ни одного из Hint. В любом другом случае мы имеем дело с несвязанной диаграммой.
Пусть несвязанная диаграмма / У ff я-го порядка состоит из k зам-
Рис 49_ кнутых петель. Предположим
сначала, что все k ііетель содержат различное число вершин. Такой диаграмме отвечает выражение
t^- / • • • \кш m • ¦ • йш т>с X
X / *f0 . . . (Г [Hint (Zf) .. . Hint (,ГО)}>С . ..
... f dzW ... dz(*) (Г [Нш (zf)) ... Нш (т(Ч)})е. (15.3) где
/M1 -f- tn2 -f- ... + tnk = п (тг ф т2Ф ... ф т к),
символ (...)с означает усреднение, соответствующее какой-нибудь определенной связанной диаграмме. Просуммируем теперь все топологически эквивалентные диаграммы, содержащие k петель выбранного нами типа. Для этого, очевидно, нужно просто умножить (15.3) на число таких диаграмм Fk. Последнее совпадает с числом способов, какими можно разместить п операторов Hint по k различным «ящикам» (... )с, содержащим, соответственно, mv т2.....mk мест, т. е.
/W1Im2! ... § 15] ряд теории возмущений для потенциала Q 183
В результате получим:
-blf / *(.) ... *(.) <Г {йш т ... нм (та))})с X '
X ^f- / ^ • • • & 1Йш т • • • Hint (^}>е • • • • • • • • • ¦ ¦
(15.4)
Заметим, что, по существу, мы уже сразу могли бы отказаться от предположения о том, что каждое усреднение (...)с соответствует связанной диаграмме определенного типа, и считать просто, что (. . .)с представляет собой вообще сумму всех связанных диаграмм с данным числом вершин. Тем самым можно заключить, что сумма всех несвязанных диаграмм, содержащих k замкнутых петель, имеющих, соответственно, mv m2, ..., mk вершин, имеет вид
-tIUi ^m2
где
fdh ... dzm [T^Hint(Zl) ... Hint(zm)})c (15.5)
есть не что иное, как сумма всех связанных диаграмм порядка m для (Ф). Очевидно,
I-I-S1-I-E2-I- ... =(®)с. (15.6)
Если среди чисел Wi1, m2, ... имеются одинаковые, так что диаграмма распадается на рг P2 -f- ... + Pk замкнутых петель, содержащих, соответственно, Itt1, т2.....mk
(/W1 ф ... тк) вершин, то, как можно показать, выражение (15.5) следует заменить на !)
_I_ Ел — Ep' 1 HPk Cl5 71
Pll Pil ^ Pk\ ^k Ub-O
') В справедливости сказанного можно убедиться следующим образом. В случае, когда среди чисел оть ..., тk имеются одинаковые, упомянутое выше число Fk совпадает с числом способов, которыми можно разместить р\тх + р2т2 + ... + = л операторов Hint по piP2jT ••• + Pk ящикам (...)с, содержащим Ot1, Ot2, ..., mk мест, причем, соответственно, ръ р2.....pk ящиков — одинаковые. Число Fk в этом случае равно
_л!_
Fk = Pi 1 (Ot1 !)"' р2! (Ot2!)"2 • • • Рк\ (отА!) Pk' 184 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
или, что то же самое, на
1 pft 1 cft 1 c^i mk 0\
JJU1 TJi2 ---JJal • (15-8)
где числа P1 (Pi = 0, 1, 2, .. .) показывают, сколько замкнутых петель порядка I содержится во всей несвязанной диаграмме. Суммируя (15.8) по всем P1 (суммирование по различным P1, очевидно, независимо), получим:
_ У _L я?« — ъ?2
1 "TT
Jj1I
Pu Pv
~ Ef2 ... = е^е^ ... =
р P
= ехр {S1 —{— H2 —I— ...}. (15.9)
Подставляя, наконец, (15.9) в (15.1), имеем:
/IQ = -KZ1 4- S2 —|— ...) = — T {(S)c — 1}. (15.10)
Мы получили, таким образом, весьма важный результат: для вычисления поправки к термодинамическому потенциалу достаточно вычислить вклад только связанных диаграмм в (<5).
Как уже упоминалось, диаграммы для (®) имеют вид замкнутых петель и их вычисление производится в основном по тем же правилам, что и вычисление ©-функций. Единственное отличие состоит в коэффициенте перед диаграммой.
В § 12 мы отметили, что коэффициент -^jy- в ряде
теории возмущений для ©-функций (12.13) сокращается, если учесть вклад всех топологически эквивалентных диаграмм, число которых было как раз равно и!. При вычислении (S)c положение меняется. Число эквивалентных диаграмм, даваемых и-м членом ряда (12.12), будет равно1) (п—1)!, так что перед каждой диаграммой (если считать различными только топологически неэквивалентные диаграммы) появится
') Все эквивалентные диаграммы получатся при всевозможных перестановках л—1 операторов Htnt в формуле (12.12). Один из операторов Hint следует считать фиксированным. В случае вычисления @ фиксированными были начало и конец внешних линий, т. е. операторы (гі. ti). Фр (/*2, ^2) в (12.13). § 15] ряд теории возмущений для потенциала Q 185
множитель . Наличие существенно зависящего от порядка п
коэффициента делает ряд теории возмущений для 2 очень неудобным, особенно в тех случаях, когда нельзя ограничиться конечным числом членов ряда, а приходится суммировать бесконечные последовательности диаграмм.
Приведем несколько примеров вычисления поправок Д2, причем ограничимся для краткости случаем взаимодействия с фононами. Во втором порядке теории возмущений отлична от нуля только связанная диаграмма рис. 49, II. Вычисляя ее вклад по теореме Вика, получим для S2== — TE2 (пользуемся четырехмерными обозначениями):
