Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2" (W-S0 (P) -fix)2 W6 Х
XS/dPidPif^ T2T3^' Pl+P2- р; Pi- Рг)Х
(u1o)2
X 1__!__1__X
^ JCO1 — E0 (P1) + [J. /С|>2 — E0 (P2) + Ц І ((Ol + W2-со)—E0 (P1 + />2—Р) + ^ ^
X Zt02Y3; T1P (Pl• Pi' Pl + Р-2 — Р' P)-
') Мы использовали здесь четырехмерные обозначения; 𠦦 = (Р. <*п)- 178 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Диаграмма п-го порядка для ©-функции содержит л четырехугольников (вершин) и 2п -j-1 линию; из них 2п — 1 внутренних линий связаны в каждой вершине законами сохранения 2/*'- О- 2 % = 0. Легко убедиться, что имеется всего п независимых интегрирований и суммирований по импульсам и частотам внутренних линий. При вычислении вклада произвольной диаграммы проводятся операции:
1) каждой внутренней линии сопоставляется величина_
_1
Ш' — E0 (/?') + P-'
2) каждой внешней линии сопоставляется величина
1 .
гы — E0 (р) + [А '
3) каждой вершине диаграммы сопоставляется функция
Jtft7S(Pi. P2; P3. Pi+P2-P3);
4) по всем независимым внутренним импульсам и частотам производятся интегрирование и суммирование;
5) по индексам а, ?, ... величин J(0), соединенным ©(0)-линией, производится суммирование;
6) результат вычисления умножается на ^yn An (относительно An см. § 13).
Так, диаграмме рис. 46 соответствует выражение
1 1 T3
— T (/00 -E0 (P) + fx)* Wx
X 2/ rfPirfP2rfP3^T1; т2т3 (Р- Pi+ P2- p; Pv P2) X
CD1(D2O) з
1__1 X
^4 /СO1 — E0 (P1) + (X /(O2 — E0 (P2) + [А
X J1T2T3; T4T6 (Pv P2; P3- Pi +P2 - P3) -J(P8) +E X
X_I_X
^4 /(«1+«2 —(O3)- E0(P^P2-P3) + (X
X Jtj5; (Рз- Pi+P2-P3; Pi+P2-P' Р) X
1
X7
і ((Oj + (O2 — (о) — e0 (p1 + р2 — р) + [а ' § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 179
В случае точечного взаимодействия функция J"'0' не зависит от импульсов и частот.
Б. Взаимодействие с фононами. В случае взаимодействия с фононами отличны от нуля только диаграммы
Рис. 46.
четного порядка. Произвольная диаграмма порядка 2п содержит Ъп-\-\ внутренних линий (электронных и фононных) и 2п вершин, что соответствует
Зя — 1 —(2п— 1) = п
независимым интегрированиям. При вычислении ее вклада производятся следующие операции:
1) каждой внутренней сплошной линии сопоставляется величина
1_
/V — e0 (/»') + (x '
а обеим внешним сплошным линиям (в диаграммах для поправок к ©-функции частиц) — величина
(/(O-E0 (P)+ [X)2 ;
2) каждой фононной (пунктирной) линии сопоставляется величина
co2 + »2 (к) '
3) результат вычисления умножается на
S2nJ2^tt (-1)" (25 +1/(+ If, 180 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
где g — константа взаимодействия, F—-число замкнутых петель на диаграмме s-спин частиц.
Запишем, например, выражение для поправки второго порядка к 2)-функции фонона, соответствующей диаграмме рис. 47:
+
»2 (ft)
,о2+ (O2 (ft)
?2(2S+1)-
(203
X 21 ./Vw-Mp',
X
(P') + р. і ((0' — со) — S0 (p' — k) + •
дч
Приведенные в этом параграфе правила находятся в очень простом соотношении с соответствующими правилами вычисления поправок к гри-новским функциям при 7*=0. Как легко проверить, поправку к температурной гриновской функции © можно получить из выражения для поправки к гриновской функции О при T= 0, заменив в последнем все частоты ш на тп (шя = 2шТ для бозе-частиц, и)я = (2тг -f- 1)кТ для ферми-частиц) и все интегралы по частотам на суммы:
Рис. 47.
J
du)
В заключение рассмотрим, как в развитой технике происходит предельный переход к случаю T= 0. При стремлении T к нулю в суммах по частотам главную роль играют большие п, и поэтому эти суммы можно заменить инте-
гралами. Учитывая, что Аш = >
юп= 2кТ, получим:
Подчеркнем, что @(ш) при T=O отнюдь не совпадает с 0(ш). Связь между этими величинами будет установлена в дальнейшем. § 15] ряд теории возмущений для потенциала Q 181
§ 15. Ряд теории возмущений для термодинамического потенциала Q
Бывают случаи, когда оказывается, что более удобно вычислять непосредственно термодинамический потенциал 2, вместо того чтобы сначала находить гриновские функции, а уже затем термодинамические величины.
Поправка к термодинамическому потенциалу выражается через среднее значение <3-матрицы формулой (см. (12.11))
Оказывается, что логарифм в формуле (15.1) может быть взят в общем виде; точнее, можно построить диаграммную технику непосредственно для величины Q.
Из предыдущего очевидно, что диаграммы, которыми описывается ряд теории возмущений для 2, имеют вид замкнутых петель. Типичные диаграммы для обоих вариантов двухчастичного взаимодействия представлены на рис. 48, а и б, для взаимодействия с фононами — на рис. 49 (фактически диаграмма на рис. 49, I равна нулю).
Среди диаграмм данного порядка теории возмущений будут находиться диаграммы обоих типов — связанные и несвязанные. Последние представляют собой две и более замкнутых петель, не соединенных никакими линиями. Связанные диаграммы возникают, если при расписывании по теореме
Рис. 48.
AQ = _ Tin (®),
