Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(14.9)
Аналогичные вычисления для вклада диаграммы III рис. 33 приводят к результату
і -г.-"'/ . , ., % (0, 0) (25 -(- 1) TQ-TT X
Xyifdp1,--—-J—г—і—, (14.10)
74 jU J шт — е0 (р,) +
%i
где т->0, S — спин частицы, равный 1I2 для ферми-частиц и нулю для бозе-частиц. Мы ввели здесь е'шл"(т-> -f~ 0) под знаком суммы в соответствии с упоминавшимся в § 13 174 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
условием, что ©-функция в координатном пространстве при совпадающих временных аргументах определяется как
©(0) (0, 0)= Iim ©|0)(0,-т).
х-+ +0
Выражениям (14.9), (14.10) можно сопоставить файнма-новские диаграммы, соответственно, рис. 42, а и б. Внешние линии этих диаграмм несут внешние импульс и частоту—р, и)я; импульсы и частоты в каждой вершине удовлетворяют законам сохранения: сумма «входящих» в вершину импульсов равна сумме «выходящих».
aj oj
Рис. 42.
Рассмотрим диаграмму для ©(/>, шл) произвольного порядка k теории возмущений. Такая диаграмма имеет 2k вершин, 2k -(-1 сплошных линий и k волнистых линий. При проведении преобразования Фурье мы будем иметь 2k интегрирований по пространственным и «временным» координатам вершин и одно интегрирование по разности координат внешних концов, от которых возникает 2k -f- 1
величин типа • выражающих 2k-ArI законов
тп
сохранения. Легко убедиться, что два закона сохранения выражают тот факт, что внешние линии имеют импульс р и частоту шл. Остающиеся 2k — 1 законов сохранения приведут к тому, что из 2>k — 1 интегрирований по импульсам и суммирований по частотам внутренних линий (как сплошным, так и волнистым) фактически останется лишь k интегрирований и суммирований.
Сформулируем теперь правила написания выражения, отвечающего определенной диаграмме для функции Грина. § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 175
1) Прежде всего, следует сопоставить линиям диаграммы импульсы и частоты; внешние линии при этом должны нести внешние импульс и частоту, а импульсы и частоты внутренних линий должны удовлетворять в каждой вершине законам сохранения 2/*' — 0> 201"-0. Частоты бозевских линий всегда четные (шп = 2пкТ), частоты фермиевских — нечетные
2) По всем независимым импульсам и частотам диаграммы производятся суммирования и интегрирования.
3) Каждой сплошной внутренней линии (импульс и частота р', ш') сопоставляется величина
1
ib>'n— E0 (/>')+ Iх ' каждой волнистой линии (q, о/) — величина fo(g, <) S ?/(?).
4) Обеим внешним линиям (импульс и частота р, и>л) диаграммы сопоставляется величина
(/<»„ — е0 (р) -і- Ij-)2' 5) Перед получившимся выражением следует поставить множитель тк
(-^-(2^-(23 + 1)^(+1)'.
где F — число замкнутых петель на диаграмме, образованных линиями частиц.
Пользуясь этими правилами, не составляет труда записать поправку, отвечающую любой сколь угодно сложной диаграмме. Вклад диаграммы рис. 43 имеет, например, вид
± (fo-г, (р)+IIP (2^2* + 1) 1 J dPldp2dpsX
COb (I)2, COs
X_1___1_X
^ /((O-(O1)-E0(P-P1) + ^ I(CO3-O)1)- E0(P3-P1) +[А
X_!__1__Ї__X
'из — ?о (Рз) + ^ г(о2 — ^o (Pi) + ^ ' — ?o(Pi + Pi) + Iа
X (U (P1)J U(p-p3), (D1 = 2iztiT; (U2, (U3 = (2я + 1)izT. 176 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Перейдем теперь ко второму варианту диаграммной техники для случая двухчастичного взаимодействия. При переходе к фурье-представлению в соответствующих выражениях удобно применить следующий формальный прием. Выше была введена величина J^y2; ЇЗЇ4 Cz1, Z2; Z3, Z4). Величина зависит от четырех «времен» т., причем каждое тг изменяется в интервале от 0 до 1/Т. Продолжим функцию J1^
Рис. 43.
на интервал —1/Т, 1 /Т при помощи соотношений типа соотношений (11.8) для ©-функций
J-^ix1 < 0, т2; т3> т4) — q: J^ (T1 1/Т, т2; т3, т4)
и аналогичных соотношений для т2, т3, т4. Определим преобразование Фурье как
ЦТ
-I f CiX1... х2; T3, T4).
-ЦТ
Очевидно, что в случае фермиевской статистики все четыре частоты будут «нечетными», а в случае статистики Бозе — «четными».
Заметим, далее, что поскольку J1^izv z2; z3, Z4) согласно своему определению есть функция только от разностей координат и «времен» т, то фурье-компоненты Jt^ по пространственным и временным переменным будут содержать 8-функцию от суммы импульсов Ъ(P1-ArP2—р3—/>4) и символ Кронекера от суммы частот Поэтому мы § 14] ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 177 определим фурье-компоненту J"'0' сразу как
W- 5 (PijTP2-Pa-Pi) К+ОЬ-Щ"», X
1 ЦТ
X Z(0) (PituP P2U2, P3W3, P4(U4) = ^g Jdil... dxA X
-VT
X У ^r1 drie~i (PirI+Pir?-р*гз-р*гJ+X
XJjw(ZltZ2lZ3lZ4). (14.11)
Произведем, например, преобразование Фурье в выражении для поправки первого порядка, соответствующей диа-
РЧ р.Ч
Рис. 44.
грамме II рис. 35. После простых вычислений находим: 1 T
(ш-г0(р) + ц)* (2я)' Х
xSt/ ^Л^Р' Pv ^v Pv 0Y- P' '")/00,-80(^) + ^'
которое соответствует диаграмме рис. 44.
Аналогичные вычисления для поправки, даваемой диаграммой рис. 45, приводят к формуле 1J 1 1 T2
