Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
© ((On) = f еЫп-© (T) dz,
° (14.2)
[ (2/1+1) it7 для ферми-частиц
" { 2/гтгГ для бозе-частиц.
Произведем преобразование Фурье во всех членах ряда теории возмущений, для чего подставим в соответствующие выражения разложения в ряд Фурье по (14.1). Кроме того, одновременно проведем преобразование Фурье по пространственным переменным:
®(r)= 72^ f (р) dp,
1 } J (14.3)
(В (P)= Je-'/"-©(r)dr.
Преобразование по пространственным переменным производится в нашем случае точно так же, как это было сделано при T= 0.
Заметим, что в каждой точке, по координатам которой проводится интегрирование, всегда сходится четное число фермионных линий, вследствие чего при интегрировании по временной координате каждой вершины
ит
f dTeixS"'n, (14.4) 170 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
сумма «частот» 2 1
2 u>„= 2/Vu7' (N — целое число). Интеграл (14.4) в случае четных частот равен
, Sm = ( Ь = (14.5)
Таким образом, здесь мы имеем, по существу, ту же самую ситуацию, что и при T=O. В последнем случае при интегрировании по координатам и времени t вершины возникали 8-функции от частот и импульсов, выражающие законы сохранения энергий и импульса в виртуальных процессах. При Тф 0 о-функция от частот заменяется на функцию Sm — символ Кронекера, выражающую закон сохранения дискретной «частоты» шп.
Все это позволяет сохранить для описания в импульсном пространстве ряда теории возмущений обычные файнманов-ские диаграммы, с которыми мы имели дело при T= 0. Единственным существенным отличием (помимо разницы в коэффициентах) является возникновение в выражениях для матричных элементов вместо интегралов по частотам ш сумм по дискретным частотам шп.
Прежде чем переходить к конкретным примерам, приведем выражения для фурье-компонент нулевых гриновских функций. В § 11 мы вычислили нулевые гриновские функции в координатном пространстве. Согласно (11.13а), гриновская функция свободной фермиевской частицы после проведения преобразования Фурье по координатам (14.3) имеет при т > 0 вид
(р, ,) = - Sap (1 - П (P)) е П(р) = [еШР)-Мт+1]-\
Подставляя это выражение в (14.2), имеем (шп = (2п-\- 1)кТ)\
mt
(€/(/>. Og = -Sep(I-BOO) / =
и
= -(1 _ П(р)){е(2«+Ч"М-<Р)-|0/Г— 1},
Ш„ — S0 (р) + |А4 I " § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 171
т. е. окончательно
= Wfl- .!(P) + .' = (14.6) Аналогичные вычисления дают для бозе-частиц
©(0) (р, ш ) = .-1 , о)_=2ъпТ, (14.7)
п' шп —¦ E0 (р) -(- Ij- .» 4 '
и для фононов
?)(0)(fe, %) = — ^f*1 ¦ 0>я=2шТ. (14.8)
Таким образом, нулевые гриновские функции ферми- и бозе-частиц отличаются друг от друга только «четностью» частоты шп. Функции (14.6) — (14.8) получаются из гриновских функций при T = 0 (7.7), (7.16) заменой ю—>шп. В дальнейшем мы убедимся, что подобная связь существует (правда, с некоторыми оговорками) и для точных гриновских функций.
2. Примеры. Как мы убедились, вычисление температурных гриновских функций может производиться по диаграммной технике Файнмана в импульсном пространстве. При этом каждой линии файнмановской диаграммы сопоставляется нулевая гриновская функция частиц ©(0V (Un) или фононов ?)(0)(k, шп), а каждой вершине— «KS/O^m > выражающие законы сохранения импульса и дискретной «частоты» и>п. По всем внутренним линиям производится интегрирование по импульсам и суммирование по «частотам» шп.
Фактический вид диаграмм и сопоставляемых им выражений зависит от вида взаимодействия. Мы начнем с двухчастичного взаимодействия.
А. Двухчастичное взаимодействие. Рассмотрим поправку к гриновской функции, даваемую диаграммой IV рис. 33. В § 13 мы получили для нее выражение
-JJ ^Z1 (X -Z1) 0? (Z1-Z2) ©J (Z2-у) ? (Z1-Z2). 172 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Произведем в нем преобразование Фурье по координатам и «времени» х:
т(1)(р, «ов) = 1 f d(x—у) X
ЦТ
X f Xx-Xy)e"ip{x-^imn{-^y). -\,Т
Введем при этом компоненту Фурье потенциала sI^ (zx—Z2)'-
"'я
Ввиду того, что
lo
'г V in T- » , ,
Г Ii Є =&(х),
fl— —
Ц}(д, шп)=и(д).
Имеем:
(Р. <¦>„) == - Y 2 / dpi dPz dP^ X
U>/ZE' ШП2 ПЗ' mM
х [W"]4 (Рі'Шл2) х
X ©5 (/>3, (Un3) аз (9, CDb4) J d(x — у) dz! X
X f d (Xx — Xy) dxx dx2e-ip eian <?x-*y) X X eip> (х'гі) + ір2(г 1-?-' ірЛг2~У)e~h°nx <Сх-^У !шпЛ' -Х2) X ''
X е~Ыпъ (Ъ-у) е'Ч (Z1-Z2)-^ni (Т1 -т2). § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 173
В интегралах по пространству и времени сделаем замену переменных X—у —> дг, тх—т—Тогда
MT
Y J dx dzx dz2 f dt X
-1/Т
MT MT
X У j" Clx1 dx2eix(-"p+p^+izi (-Pi+л+?)+^ (-Pt+Pt-q) x о о
X егЧ(ШЛ-ШЛі) + г'Т1 (%!-"0^-%!)+? (ШЛ2-ШЛ3 + ШЛ4) X х еіУ (РгР3) + ^у (-%,+%з) =
= (^Р) 8 (/> - />і) * (/>i - /? - ?) 8 (/? ~ />з + ?) X откуда
«©$(/». <¦>„) = —(J)T S/
X
лі
X Ge»p ШЯІ) (р, S3 (р -P1, % - %1).
Подставляя выражения для нулевых гриновских функций (14.6), (14.7), получим окончательно:
33(р —р„(дл —сод1)
>/г1 — ?0 (PJ) + P-ШЛ.
