Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Числа nt можно интерпретировать как числа фононов, в состоянии i(i = (k, s)). Они могут принимать любые значения. Отсюда следует, что фононы подчиняются статистике Бозе даже в том случае, если составляющие систему атомы имеют полуцелый спин.
При самых низких температурах наиболее существенную роль будут играть фононы с малыми энергиями. Из того, что было сказано выше о ветвях частотного спектра, следует, что наименьшими энергиями обладают фононы, соответствующие акустическим ветвям в области малых импульсов. Зависимость ш (k) в данном случае является линейной, и уже из одного этого факта можно сделать целый ряд качественных заключений, например, о законе — T3 для теплоемкости решетки.
Для количественных расчетов вместо спектра реальной решетки часто пользуются так называемой изотропной моделью Дебая. В этой модели вместо трех акустических ветвей низкочастотная часть спектра предполагается такой же, как
') В действительности k не импульс, а «квазиимпульс» (см. [1а]), но здесь это различие несущественно.
2) Напоминаем, что в принятой здесь системе единиц h— 1.
Это значит, что энергия имеет размерность сек~а импульс — см~1. Для перехода к обычным единицам все энергии и импульсы следует умножить на fr. § 1] элементарные возбуждения. свойства жидкого He4 13
у изотропного тела, т. е. состоящей из продольных фоно-HOB С энергией (Dz (&) = «г/г и поперечных фононов с двумя возможными поляризациями и одинаковой зависимостью энергии от импульса cut(k) = utk. Далее, считается, что импульсы фононов не превышают некоторого граничного значения kD, определяемого нормировкой на правильное число степеней
свободы. При этом, очевидно, kD—где а — межатомное расстояние. Такая модель приводит к известной интерполяционной формуле Дебая для теплоемкости твердых тел. В дальнейшем мы применим эту модель для изучения взаимодействия электронов с фононами в металле.
Если учесть малые ангармонические члены в потенциальной энергии колеблющейся решетки, то приведенное выше выражение для энергии перестает быть точным. Появляется некоторая вероятность перехода между состояниями с различными наборами чисел пг. Это может быть интерпретировано и на языке фононов как различные процессы взаимодействия между фононами, приводящие к рассеянию их друг на друге и к рождению новых фононов. Иначе говоря, при строгом рассмотрении фононы лишь приближенно можно считать свободно движущимися частицами.
Роль ангармонических членов будет увеличиваться с ростом амплитуды колебаний, т. е. с повышением температуры. В картине с фононами при повышении температуры увеличивается число фононов, что приводит к повышению роли актов взаимодействия между фононами. Поэтому само понятие фононов как свободно движущихся частиц применимо лишь к области не слишком высоких температур (значительно меньших температуры плавления).
Перейдем теперь к общему случаю. По аналогии с рассмотренным примером основой картины энергетического спектра для слабовозбужденных состояний системы служит предположение, что уровни в первом приближении могут быть построены по тому же принципу, что и уровни энергии идеальных газов.
Иными слова ми, предполагается, что любой уровень энергии получается как сумма энергий некоторого числа «квазичастиц», или элементарных возбуждений, движущихся в
объеме тела и обладающих импульсом р и энергией г (р). ( Закон •14
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
дисперсии возбуждений є (р), вообще говоря, не совпадает
Следует сразу же подчеркнуть, что элементарные возбуждения возникают в результате коллективных взаимодействий частиц системы, а потому относятся ко всей системе в целом, а не к отдельным частицам. В частности, их число отнюдь не совпадает с полным числом частиц в системе.
Все энергетические спектры можно разделить на две большие группы — спектры типа Бозе и спектры типа Ферми. В первом случае возбуждения обладают целочисленным собственным моментом (спином) и подчиняются статистике Бозе. Во втором случае возбуждения обладают полуцелым спином и подчиняются статистике Ферми. Согласно квантовой механике, момент всякой системы может меняться только на целое число. Отсюда следует, что бозевские возбуждения могут появляться и исчезать поодиночке, а фермиевские — всегда парами.
Как уже было отмечено в приведенном выше примере с колебаниями решетки, статистика" элементарных возбуждений не обязательно совпадает со статистикой частиц, составляющих систему. Очевидно лишь то, что бозе-система не может обладать возбуждениями с полуцелым спином.
Элементарные возбуждения не соответствуют точным стационарным состояниям системы, а представляют собой суперпозицию большого числа точных стационарных состояний с узким энергетическим разбросом (пакеты). Ввиду этого существует конечная вероятность перехода из одного такого состояния в другое, что приводит к расплыванию пакета, т. е. к затуханию возбуждения. Поэтому описание системы с помощью элементарных возбуждений справедливо лишь до тех пор, пока энергетическая ширина пакета, определяющая его затухание, мала по сравнению с его энергией.
