Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
функции х$(р,р'\ со). Для чистого сверхпроводника (х, х')= = §+<0)(*. X') в отсутствие поля. Не останавливаясь на доказательстве, мы заметим только, что то же самое будет иметь место и для сплавов после усреднения уравнений (39.18) и (39.19) по положению атомов примеси.
Обобщение техники усреднения предыдущего раздела на случай конечных температур и в применении к сверхпроводнику производится элементарным образом. При рассеянии электрона на статической примеси меняются только три компоненты его импульса. Поэтому пунктирной линии по-прежнему сопоставляется множитель ti\u(q)\2, а частота электронной линии в примесной вершине сохраняется. Все оценки, позволяющие пренебрегать пересечением пунктирных линий, а также диаграммами, в которых пунктир охватывает
Рис. 105.
вершину с передачей импульса порядка фермиевского, остаются в силе. Для этих оценок существенны свойства гриновских функций нормального металла, для которого температуры сверхпроводящего перехода ничтожно малы. Уравнения для усредненных функций © (р) и (р) изображены схематически на рис. 105. Структура их понятна без дальнейших пояснений. Заметим, что с диаграммной точки зрения уравнения рис. 105 аналогичны уравнениям § 35 (см. рис. 94) для системы с электрон-фононным взаимодействием. Отличие состоит в том, что на диаграммах рис. 105 имеются «нулевые» линии всех сортов:
®{0>(Р), Г[0)(Р) и Г\р).
Систему уравнений рис. 105, пользуясь явными выражениями для функций чистого сверхпроводника @(0) и можно привести к очень простому виду:
(,'со - $ - ®e) ® (р) + (Д + g+) (P)=U (ш + S + ©-«,) S+ (P) + (А + &Г) ® (P) = о, § 39] ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СПЛАВОВ
435
где
_ г (39.20)
&-ш(р) = &ш (-Р) (мы обозначили р' = (/>'; со)). Решение предыдущей системы есть (ниже показано, что ®ш = — ®-ш)
®(р) =--_*»-®u, + S _
(^ — ©ш)2 + S2 + (Д + O+)2
(39.21)
Подстановка этих выражений в (39.20) дает два уравнения для определения и Й. Мы видим, что, как и раньше, содержит постоянный член, означающий аддитивную добавку к химическому потенциалу. Этот член не зависит от температуры и обязан интегрированию по dp' вдали от ферми-поверхности. Поэтому этот член тот же, что и для нормального металла:
8^w/l«(P-P')l2jr-
За вычетом этого члена остальная часть как видно из уравнений (39.20) и (39.21), определяется в точности тем же
интегралом, что и Таким образом,
гш Д
Введем обозначения
Д = Д-}-8+ = Аг)ш, гш = to — = IWT1oj . Тогда для функции т)ш получим уравнение „ — і +ЛЬа. f dl 436
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
решение которого есть
Таким образом, усредненные по положению атомов примесей функции (S) О) и ^ (р) могут быть получены из функций чистого сверхпроводника заменой
{со, Aj (O)Tlm. (39.23)
Нетрудно проверить, что, как и для случая нормального металла, эти формулы в координатном пространстве означают умножение нулевых функций на е-^P1, Отсюда, в частности, следует, что величина
Д=|Х| Ъ+(х,х)
в сплаве совпадает с Д чистого сверхпроводника. Поскольку, как мы видели в § 36, термодинамические величины зависят в сверхпроводнике только от Д, то тем самым оправдывается сделанное выше утверждение, что термодинамические свойства сверхпроводника не меняются в присутствии примесей при достаточно малых концентрациях примеси1).
Перейдем к вопросу о температурной зависимости глубины проникновения слабого статического магнитного поля в сверхпроводящий сплав. Выражение для плотности тока J(г) в линейном по полю приближении в соответствии с (37.10) имеет вид
J^ = І 7S - г / С' о о- v<) ('• >")+
со
+ (I, г) (А (I), V/) g+ (Ґ, 0] dl — А (г),
где, однако, функции (г, г') и §<?(/¦, г') включают в себя взаимодействие с атомами примеси. Усредняя это равенство по положениям примесей и переходя к компонентам Фурье,
') Может показаться, что этот вывод верен только с точностью до членов порядка ~ ^h0"1 ~ Ю-6 см/1 (см. (32.2), (34.37). В более реалистической фононной модели обрезание происходит по частотам, благодаря чему таких членов вообще не возникает. Остальные результаты совпадают в обоих моделях. § 39] ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СПЛАВОВ
437
представим ядро Qct3(Ai) следующим образом: «^^Т^+даї/^11^ P-W (39.24)
u>'
(К=р'± 4' A = (Ar. О», где п[1\р+, р_) есть компонента Фурье от
Я(1) (JC — у, у — JC') =
= у')®(у, х')-Г(У.х')3(х. у)];
Я«(х-у, у-X') = ^r J] ffrf\p+.P-)X
Cu_j_, CU
Как и в случае нормального металла, среднее от произведения двух гриновских функций не равно произведению средних. Для выполнения усреднения по положениям атомов
Рис. 106,
примесей опять надлежит просуммировать целую совокупность диаграмм. Поскольку сверхпроводимость искажает гриновские функции лишь вблизи поверхности Ферми, нужные диаграммы, как и в предыдущем разделе, будут «лестничного» типа. Наличие трех разных гриновских функций в сверхпроводнике приведет, однако, к несколько более сложным уравнениям, чем уравнение (39.12), выражающее суммирование диаграмм рис. 103 в нормальном металле. Из рис. 106 видно, что для того, чтобы определить rf^(Р+• P-)' над0 знать еще три величины, отличающиеся на графике от р_j иными направлениями стрелок
