Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
учесть, что среднее от двух гриновских функций не равно произведению двух усредненных значений.
Для чистого металла выражению (39.11) соответствует диаграмма, изображенная на рис. 103, а.
После усреднения по положению атомов примеси, помимо простых диаграмм, соответствующих переходу от нулевых функций Грина G(0)(jt>) к функциям G(P) (39.8), для величины (39.11) оказываются существенными графики, изображенные на рис. 103, б. Большой вклад от этих поправок связан с тем, что импульс фотона, стоящий в вершине, k р0, благодаря чему при интегрировании основной вклад в интеграл дает область импульсов вблизи поверхности Ферми. Диаграмма другого типа, например, график на рис. 103, в, гораздо меньше, поскольку одно из интегрирований происходит по области импульсов, удаленной от поверхности Ферми. Таким образом, усреднение величины (39.11) сводится к суммированию «лестницы» диаграмм на рис. 103, б. § 39] ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СПЛАВОВ 431
Интегральное уравнение для П(р+, Р_) выглядит следующим образом:
П(Р+. P-) =
= о (р+) G (р_) [р + / | в(р -р')\>П(р'+, р'-)dp'] .
(39.12)
Возможны два предельных случая:
1) аномальный скин-эффект 1/х); легко убедиться,
что интеграл в правой части (39.12) в этом случае пренебрежимо мал —¦ 1/1 k I vi <CI 1;
б) нормальный скин-эффект (I^I1W ^ 1/х); именно этот случай представляет для нас интерес. В уравнении (39.12) при этом можно считать р ==р
Вектор, получающийся из интеграла в правой части (39.12), будет, очевидно, направлен по р. Введем обозначение
рА(о>', «О = (§5г/ WiP-Pf)I2П(Р+' P-)dp'- (39.13) Ввиду того, что |р|~/>0, Л (и/, м) можно считать не зависящим от \р\. Умножим (39.12) на -^rr \u(l—р)|2 и про-интегрируем по dp:
|А((о', = J \"(l-p)\2p0(p+)0(p_)U+A(w',<»)]dp.
(39.14)
Подставляя для 0(р) его выражение (39.8), легко найдем,
что Л(ш', со) отлично от нуля только при |(o'j <-тр> ибо
в противном случае оба полюса в (39.14) при интегрировании по согласно (7.7), лежат в одной полуплоскости. В этом интервале Л (о/, со) не зависит от о/. Интегрируя по % и воспользовавшись соотношением
cos 0 = cos 0' cos 0" 4- sin 0' sin 0" cos (f' — <?"), (39.15)
получаем:
Л К, со) =
1 .2 CO2
при со' <
__i_ 4
(39.16)
rv /2 ^ 0)2
О при со' 432
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
где
i = ^ = f^/l"(O)|2(l-cosOMQ. (39.17)
После подстановки (39.16) в (39.12) и (39.10) и интегрирования, считая их <3^1, находим:
Qa? И = — toaV
Как и должно быть, в проводимость о = ВХ°ДИТ
«транспортное» время между соударениями.
Мы видели, таким образом, что вычислению различных характеристик металла, усредненных по положению атомов примеси, возможно придать форму своего рода полевой техники. Усреднение в нашем случае сводится к попарным усреднениям рассеяния на одинаковых атомах, каждому из которых на диаграмме может быть сопоставлена пунктирная линия, соединяющая два креста. В матричном элементе такой линии, несущей импульс q, соответствует множитель п \u(q)\2, играющий роль D-функции для пунктирной линии. В вершине, из которой исходит пунктир, не меняется частота электронной линии. Очень существенно, что такой пунктир, охватывающий любую вершину, в которой происходит большое изменение импульса электронной линии (q <—' р0), дает малый вклад. В частности, по этой причине можно пренебрегать диаграммами с пересекающимися пунктирными линиями. Порядок относительной малости таких диаграмм есть IlP0ICl.
3. Электромагнитные свойства сверхпроводящих сплавов. Изложенный метод мы теперь применим к изучению сверхпроводника, включающего примеси. Рассмотрим сразу же случай произвольных температур. Главное отличие по сравнению с изложенным выше состоит в том, что сверхпроводник описывается тремя функциями Грина — функциями ©,
S+ и g. Это обстоятельство приводит к необходимости изменить диаграммную технику. Легко видеть, что в рассматриваемом случае такое видоизменение происходит совершенно аналогично § 35 и сводится к появлению fjj- и §+-линий в диаграммах для © и, аналогично, ©-линий в диаграммах для g и § 39] ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СПЛАВОВ
433
Гамильтониан взаимодействия с примесями содержит произведение операторов фф. Поэтому при включении примесной вершины в каждую электронную линию возникает по две
, У, _ Д , 9 s + : J . J-: у _ J1 г J-1 + //1
_ . , + t 91 Рис. 104.
возможности отдельно для линий ©, g и Эти возможности приведены на рис. 104. Результат можно записать в виде
©О. х')-><9(х, У) ® (У. *') —у) S+ (у, Xr). S+ (*, х')—> 5'+ (Х' У) ©(У. + *)S+ (У, xf). *')->®(*. у) 3" (у. *')+3(*. у)@(*', у)-
Вместо уравнения (39.3) мы будем иметь следующие уравнения для функций © и
@ (р. р'\ «о=©(0) (P) Ъ(Р—Р') +
+Wf j ®<0) (р) Iuip- р,/) Sе' {р~р"] Га® р'<ш) dp" -
I а
-Sw(P)/и(/>-/>")? <Р_/Пr^S+(39.18) a J
S+ (p. P'-, «¦>) = S+(04p) 8 (Р -P') +
+ {3+(u)0» f U(p-p")^el(p-p")ra®(p".p'-, ^) dp"-V
+ ©(0) (- Р) / « (Р - Р") 2(р"< р'> ш> ЛР" ) ¦
а J '
(39.19)
В принципе необходимо рассмотреть еще уравнение для 434
